Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Figuri geometrice în plan
Arii: triunghi, patrulatere, poligon regulat, cercul și discul
Ariile figurilor plane la BAC, profilul real: cinci formule pentru triunghi, patrulaterele, poligonul regulat, lungimea cercului și aria discului. Aici ai formulele din manual, când se aplică fiecare și cum duc la razele R și r.
X.7. Figuri geometrice în plan
- Aria suprafețelor poligonale pentru: triunghi (A = ½ a h_a, formula lui Heron, A = ½ ab sin α, A = abc/(4R), A = pr, p = (a+b+c)/2), pătrat, dreptunghi, paralelogram, romb, trapez, poligon regulat.
- Lungimea cercului. Aria discului.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Pagina este pentru profilul real, unde matematica este disciplină obligatorie la BAC. Unitatea X.7 a programei cere aria triunghiului prin cinci formule, aria pătratului, a dreptunghiului, a paralelogramului, a rombului, a trapezului și a poligonului regulat, apoi lungimea cercului și aria discului. Programa profilului umanist are o listă de arii mai scurtă: la triunghi lipsește formula cu sinusul, iar aria poligonului regulat nu apare în ea. În manualul de clasa a X-a formulele ariilor pentru mai multe figuri sunt adunate în tabelul 1 din modulul 9.
Ce este aria Aria este un număr nenegativ pe care îl primește orice figură plană, după trei reguli: două figuri congruente primesc aceeași arie; o figură alcătuită din două părți fără puncte comune are ca arie suma ariilor părților; pătratul cu latura 1 are aria 1. Când două poligoane au aceeași arie, li se spune echivalente.
Triunghiul
Ce se cunoaște
Aria
latura a și înălțimea ha dusă pe ea
21aha
laturile a,b și unghiul γ dintre ele
21absinγ
toate cele trei laturi (Heron)
p(p−a)(p−b)(p−c)
laturile și raza R a cercului circumscris
4Rabc
semiperimetrul p și raza r a cercului înscris
pr
Aici p=2a+b+c este semiperimetrul, nu perimetrul. Ultimele două formule se folosesc și invers, R=4Aabc și aria duce cel mai scurt la razele celor două cercuri. La un unghi obtuz sinusul rămâne pozitiv, fiindcă Pentru triunghiul echilateral cu latura formula devine Fiecare mediană taie triunghiul în două bucăți de arii egale (triunghiuri echivalente), iar la două triunghiuri asemenea raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare.
Patrulaterele
dreptunghiul: A=ab; pătratul: A=a2=21d2, cu d diagonala;
Poligonul regulat Cercul înscris și cercul circumscris unui poligon regulat au același centru. Raza R a cercului circumscris este raza poligonului, iar raza r a cercului înscris este apotema: segmentul dintre centru și mijlocul unei laturi, perpendicular pe acea latură. Unghiul la centru al poligonului cu n laturi are n360∘. Aria se scrie tot ca A=pr, cu semiperimetrul poligonului. Latura se exprimă prin de unde și Segmentele duse din centru spre vârfuri împart hexagonul regulat în șase triunghiuri congruente, iar ariile lor adunate dau aria hexagonului; laturile fiecăruia sunt și deci toate sunt echilaterale.
Cercul și discul Cercul de rază R are lungimea L=2πR, iar discul mărginit de el are aria A=πR2. Măsura în radiani a unui arc este raportul dintre lungimea lui și rază, deci arcul cu unghiul la centru α (în radiani) are lungimea l=αR. Sectorul de disc are aria cu în radiani, sau cu în grade.
Cum alegi formula Pornește de la datele enunțului: o latură cu înălțimea ei, două laturi cu unghiul dintre ele, trei laturi sau o rază. Când se cere R,r sau o înălțime, află întâi aria, apoi scrie-o a doua oară prin necunoscuta căutată și egalează cele două expresii. Aria se dă în unități pătrate, de exemplu cm², iar lungimea cercului în unități de lungime.
Desene și scheme
Stânga: aria triunghiului este ½·a·h_a sau ½·a·b·sin γ, cu γ unghiul dintre laturile a și b. Mijloc: în poligonul regulat, R este raza cercului circumscris, apotema r este raza cercului înscris, iar aria este p·r. Dreapta: sectorul cu unghiul α în radiani are arcul l = α·R și aria ½·R²·α.
Ce acoperă: Aria triunghiului: triunghiul dreptunghic ca jumătate de dreptunghi, aria prin latură și înălțime, formula lui Heron cu semiperimetrul, triunghiul echilateral și mediana care împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente; lecția de clasa a IX-a a profesoarei Maia Arama (tema din descriere, conținutul după subtitrările automate).
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
r=pA:
sin(180∘−α)=sinα.
l
A=43l2.
paralelogramul: o latură înmulțită cu înălțimea dusă pe ea, A=ah, sau A=absinα, sau A=21d1d2sinφ, unde φ este unghiul dintre diagonale;
rombul: A=21d1d2;
trapezul: A=2a+b⋅h=m⋅h, unde m este linia mijlocie;
