Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Геометрические фигуры на плоскости
Площади многоугольников, длина окружности, площадь круга
Площади плоских фигур на BAC, реальный профиль: пять формул для треугольника, четырёхугольники, правильный многоугольник, длина окружности и площадь круга. Здесь формулы из учебника, когда какая нужна и как через площадь найти R и r.
X.7. Геометрические фигуры на плоскости
- Площади многоугольных поверхностей для: треугольника (A = ½ a h_a, формула Герона, A = ½ ab sin α, A = abc/(4R), A = pr, p = (a+b+c)/2) квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, правильного многоугольника.
- Длина окружности. Площадь круга.
Что требует программа Эта страница — для реального профиля, где математика на BAC обязательна. Раздел X.7 программы требует площадь треугольника по пяти формулам, площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции и правильного многоугольника, а также длину окружности и площадь круга. У гуманитарного профиля список площадей короче: для треугольника нет формулы с синусом, а площади правильного многоугольника в этом списке нет. В учебнике 10 класса формулы площадей нескольких фигур собраны в таблице 1 модуля 9.
Что такое площадь Площадь — неотрицательное число, которое получает любая плоская фигура, по трём правилам: две конгруэнтные фигуры получают одну и ту же площадь; у фигуры из двух частей без общих точек площадь — сумма площадей частей; квадрат со стороной 1 имеет площадь 1. Если у двух многоугольников площади одинаковы, их называют эквивалентными.
Треугольник
Что известно
Площадь
сторона a и высота ha, проведённая к ней
21aha
стороны a,b и угол γ между ними
21absinγ
все три стороны (Герон)
p(p−a)(p−b)(p−c)
стороны и радиус R описанной окружности
4Rabc
полупериметр p и радиус r вписанной окружности
pr
Здесь p=2a+b+c — полупериметр, а не периметр. Две последние формулы работают и в обратную сторону, R=4Aabc и через площадь быстрее всего выходят радиусы обеих окружностей. Для тупого угла синус остаётся положительным, потому что Для равностороннего треугольника со стороной формула превращается в Каждая медиана разрезает треугольник на две части равной площади (эквивалентные треугольники), а у подобных треугольников отношение площадей — квадрат коэффициента подобия.
Четырёхугольники
прямоугольник: A=ab; квадрат: A=a2=21d2, где d — диагональ;
Правильный многоугольник Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий центр. Радиус R описанной окружности — радиус многоугольника, а радиус r вписанной окружности — апофема: отрезок от центра до середины стороны, перпендикулярный этой стороне. Центральный угол правильного n-угольника равен n360∘. Площадь записывается так же, A=pr, где — полупериметр многоугольника. Сторона выражается через откуда и Отрезки из центра к вершинам режут правильный шестиугольник на шесть конгруэнтных треугольников, и их площади в сумме дают площадь шестиугольника; стороны каждого — и так что все они равносторонние.
Окружность и круг Окружность радиуса R имеет длину L=2πR, а круг, ограниченный ею, — площадь A=πR2. Радианная мера дуги — это отношение её длины к радиусу, поэтому дуга с центральным углом α (в радианах) имеет длину l=αR. Площадь сектора круга равна для в радианах или для в градусах.
Как выбрать формулу Смотри, что дано в условии: сторона с высотой, две стороны с углом между ними, три стороны или радиус. Когда нужно найти R,r или высоту, сначала найди площадь, потом запиши её второй раз через искомую величину и приравняй два выражения. Площадь записывают в квадратных единицах, например в см², а длину окружности — в единицах длины.
Чертежи и схемы
Слева: площадь треугольника равна ½·a·h_a или ½·a·b·sin γ, где γ — угол между сторонами a и b. В центре: у правильного многоугольника R — радиус описанной окружности, апофема r — радиус вписанной, площадь равна p·r. Справа: у сектора с углом α в радианах дуга l = α·R, а площадь ½·R²·α.
О чём: Площадь треугольника: прямоугольный треугольник как половина прямоугольника, половина произведения стороны на высоту, формула Герона с полупериметром (задача 13, 14, 15) и задачи на равнобедренный треугольник; урок 9 класса учителя Ирины Сиденко (тема указана в описании, содержание — по автоматическим субтитрам).
О чём: Площадь правильных многоугольников: площадь равностороннего треугольника и правильный шестиугольник как шесть правильных треугольников, затем задачи; урок 9 класса учителя Ирины Сиденко (тема указана в описании, содержание — по автоматическим субтитрам).
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
r=pA:
sin(180∘−α)=sinα.
l
A=43l2.
параллелограмм: сторона, умноженная на высоту к ней, A=ah, или A=absinα, или A=21d1d2sinφ, где φ — угол между диагоналями;
