Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real, unde matematica este disciplină obligatorie la BAC. Unitatea XI.6 a programei pornește de la axiomele geometriei în plan și în spațiu, apoi cere pozițiile relative ale dreptelor, unghiul dintre două drepte necoplanare, dreptele paralele, poziția unei drepte față de un plan și a două plane, cu proprietățile și criteriile de paralelism.
Axiomele
Punctul, dreapta, planul, distanța și măsura unghiului sunt noțiuni fundamentale: nu se definesc, le descriu axiomele. Din geometria în plan contează aici două:
- prin două puncte distincte trece exact o dreaptă;
- printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea (axioma paralelelor).
În spațiu apare noțiunea de plan, iar lista se completează cu trei axiome:
- S1: orice plan are puncte care îi aparțin și puncte care nu îi aparțin;
- S2: prin trei puncte necoliniare trece exact un plan;
- S3: două plane distincte cu un punct comun se intersectează după o dreaptă.
Consecințele folosite des: o dreaptă cu două puncte într-un plan stă toată în acel plan; un plan este determinat și de o dreaptă împreună cu un punct exterior ei, și de două drepte concurente. Punctele dintr-un același plan se numesc coplanare.
Două drepte în spațiu
Două drepte pot coincide, pot fi concurente (un singur punct comun), pot sta în același plan fără puncte comune sau pot să nu aibă niciun plan comun: atunci se numesc necoplanare. Dreptele paralele sunt cele situate în același plan care nu au puncte comune, plus cazul în care coincid. De aici capcana principală: două drepte distincte fără puncte comune nu sunt automat paralele, trebuie arătat și planul comun.
- Dacă una dintre două paralele distincte intersectează un plan, îl intersectează și cealaltă.
- Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele (tranzitivitatea).
Exemplu din manual: la patru puncte necoplanare A, B, C, D, mijloacele segmentelor AD, DC, CB, BA formează un paralelogram. Două laturi opuse ale lui sunt linii mijlocii în triunghiurile ABD și BDC, deci ambele sunt paralele cu BD; amintește-ți că linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
Unghiul dintre două drepte necoplanare
Lema de pornire: dacă laturile a două unghiuri sunt paralele două câte două, unghiurile sunt fie congruente, fie suplementare (suma lor este 180∘). Unghiul dintre dreptele necoplanare a și b se construiește printr-un punct oarecare M: duci MA∥a și MB∥b și măsori unghiul BMA. Lema arată că alegerea lui nu schimbă rezultatul decât până la suplement, așa că se ia comod, de obicei pe una dintre drepte. Manualul admite pentru unghiul orice măsură de la la deci aceleași drepte dau un unghi sau suplementul lui; când problema cere unghiul ascuțit, îl alegi pe cel dintre cele două care nu depășește Dreptele sunt perpendiculare când unghiul are în cubul de exemplu, deși aceste drepte nu au puncte comune.
Dreaptă și plan
O dreaptă poate avea cu un plan un singur punct comun (este secantă), niciun punct comun sau poate fi inclusă în plan; în ultimele două cazuri este paralelă cu planul.
- Criteriul: dreapta este paralelă cu planul dacă și numai dacă este paralelă cu o dreaptă a planului. În rezolvare numești acea dreaptă.
- Dacă a∥α, un plan care trece prin a și taie α o taie după o dreaptă paralelă cu a.
- Teorema acoperișului: dacă d1∥d2, iar un plan prin și un plan prin se intersectează după atunci este paralelă cu ambele.
Două plane
Două plane se intersectează după o dreaptă, nu au puncte comune sau coincid; în ultimele două cazuri sunt paralele.
- Criteriul: dacă două drepte concurente ale unui plan sunt paralele cu alt plan, planele sunt paralele. Două drepte paralele între ele nu ajung.
- Un al treilea plan taie două plane paralele după drepte paralele.
- Segmentele unor drepte paralele cuprinse între două plane paralele sunt congruente.
| Ce compari | Paralele înseamnă | Criteriul |
|---|
| două drepte | același plan, fără puncte comune (sau coincid) | ambele paralele cu a treia |
| dreaptă și plan | fără puncte comune sau dreapta inclusă | paralelă cu o dreaptă din plan |
| două plane | fără puncte comune sau coincid | două drepte concurente din unul, paralele cu celălalt |
Secțiuni și drepte paralele duse până la un plan
- La tetraedrul VABC, un plan paralel cu fața ABC taie celelalte trei fețe după drepte paralele cu laturile acestei fețe, iar secțiunea este un triunghi asemenea cu fața. Raportul se citește pe muchie, de la vârful opus: dacă planul taie muchia VA în A1, fiecare latură a secțiunii este latura corespunzătoare a feței înmulțită cu VAVA1.
