Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real, unde matematica este disciplină obligatorie la BAC. Unitatea X.7 a programei cere aici patrulaterele convexe (paralelogramul, cazurile lui particulare și trapezul) cu proprietăți și criterii, patrulaterele înscrise și circumscrise, poligoanele convexe și poligoanele regulate: triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat, înscrise în cerc și circumscrise unui cerc. În manualul de clasa a X-a tema ocupă modulul 9, o recapitulare cu completări.
Poligonul convex
Un poligon este convex când stă de aceeași parte a dreptei pe care se află oricare dintre laturile lui. Unghiul exterior este suplementul unghiului interior de la același vârf, iar diagonala unește două vârfuri care nu sunt capetele aceleiași laturi. Pentru n laturi:
- dintr-un vârf pornesc n−3 diagonale, în total 2n(n−3);
- suma unghiurilor interioare este Sn=180∘(n−2).
Paralelogramul
Paralelogramul are laturile opuse paralele. Din definiție rezultă: laturile opuse sunt congruente, unghiurile opuse sunt congruente, două unghiuri consecutive au suma 180∘, diagonalele se taie în mijlocul lor. Proprietățile funcționează și invers, drept criterii: un patrulater convex este paralelogram dacă are laturile opuse congruente, sau unghiurile opuse congruente, sau perechile de unghiuri consecutive suplementare, sau diagonalele cu același mijloc; ajunge și o singură pereche de laturi opuse paralele și congruente. Bisectoarea unghiului A al paralelogramului ABCD taie latura BC în punctul E și formează triunghiul isoscel ABE: unghiurile și sunt alterne interne. Între laturile și diagonalele are loc
| Figura | Ce este | Criteriul pentru un paralelogram |
|---|
| dreptunghi | paralelogram cu un unghi drept; toate unghiurile sunt drepte | diagonalele congruente |
| romb | paralelogram cu două laturi consecutive congruente; toate laturile sunt congruente | diagonalele perpendiculare sau situate pe bisectoarele unghiurilor |
| pătrat | romb cu un unghi drept, adică dreptunghi cu două laturi consecutive congruente | diagonalele congruente și perpendiculare: dreptunghiul cu diagonalele perpendiculare este pătrat |
Criteriile din tabel pornesc de la un paralelogram. Diagonalele perpendiculare ale unui patrulater oarecare nu îl fac romb: întâi arăți că este paralelogram.
Trapezul
Trapezul are două laturi opuse paralele, bazele, și două neparalele, laturile laterale. Linia mijlocie unește mijloacele laturilor laterale, este paralelă cu bazele și are lungimea 2a+b. Trapezul isoscel are laturile laterale congruente; diagonalele lui sunt congruente, iar unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente. În trapezul isoscel, înălțimea dusă din vârful unghiului obtuz împarte baza mare a în segmentele 2a+b și unde este baza mică.
Patrulatere înscrise și circumscrise
Patrulaterul înscris are vârfurile pe cerc, cel circumscris are laturile tangente la cerc; inscriptibil și circumscriptibil înseamnă că un asemenea cerc există. Criteriile, fiecare necesar și suficient:
- 1)inscriptibil: suma unghiurilor opuse este 180∘;
- 2)inscriptibil: unghiul dintre o diagonală și o latură este congruent cu unghiul dintre latura opusă și cealaltă diagonală, de exemplu ∠ABD≡∠ACD;
- 3)inscriptibil: un unghi interior este congruent cu unghiul exterior de la vârful opus;
- 4)circumscriptibil: AB+CD=BC+AD, sumele laturilor opuse sunt egale.
Trapezul isoscel este mereu inscriptibil: unghiurile de la aceeași bază sunt congruente, iar cele alăturate unei laturi laterale sunt interne de aceeași parte a secantei față de bazele paralele, deci au suma 180∘; atunci și unghiurile opuse au suma 180∘.
Poligoane regulate
Poligonul regulat este convex și are toate laturile și toate unghiurile congruente. Unghiul lui interior este βn=n180∘(n−2); unghiul exterior, suplementul lui, iese din calcul: 180∘−βn=n360∘. Orice poligon regulat este inscriptibil și circumscriptibil, iar cele două cercuri au același centru, centrul poligonului. Raza a cercului circumscris este raza poligonului, raza a cercului înscris este apotema, iar unghiul la centru care cuprinde o latură are
| Poligonul | Latura prin R | Latura prin r |
|---|
| cu n laturi | an=2Rsinn180∘ |
Prima coloană e pentru poligonul înscris în cercul de rază R, a doua pentru poligonul circumscris cercului de rază r. Un poligon regulat are ambele cercuri, așa că din una dintre mărimi an, R, r le afli pe celelalte două.
La BAC
Un trapez, un romb sau un paralelogram poate apărea într-o problemă de geometrie plană sau ca bază a unei piramide. Figura se descompune în triunghiuri, unde lucrezi cu teorema lui Pitagora, a cosinusului sau a sinusurilor. Scrie proprietatea sau criteriul înainte de calcul, ca în rezolvările manualului.
