Matematica, BAC · Profil real · Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton. Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică · Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton

Binomul lui Newton: termenul general, coeficienți binomiali

Binomul lui Newton la bacalaureat, profilul real: formula dezvoltării, termenul general și proprietățile coeficienților binomiali. Pagina dă regulile din manual și pașii pentru item: n din condiție, termenul căutat, verificarea lui k.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pentru profilul real, unitatea XII.3 a programei de bacalaureat cere la această temă patru lucruri: binomul lui Newton, formula termenului general, proprietățile fundamentale ale coeficienților binomiali și proprietățile dezvoltării la putere a binomului. Manualul de clasa a XII-a pune exercițiile acestui paragraf sub titlul „Profilul real”. Printre competențele modulului III din curriculumul de liceu sunt 3.4 (folosirea binomului lui Newton și/sau a termenului general la probleme) și 3.5 (folosirea proprietăților coeficienților binomiali și ale dezvoltării). Combinările $C_n^k$ sunt tema vecină, „Elemente de combinatorică”; aici ele se consideră cunoscute.

Formula lui Newton
Pentru $n\in\mathbb N^*$ :
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^nb^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$ .
Dreapta egalității este dezvoltarea, iar numerele $C_n^0,C_n^1,\ldots,C_n^n$ din ea sunt coeficienții binomiali. Pentru diferență se scrie $a-b=a+(-b)$ și se obține
$(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k$ : semnele alternează, începând cu plus.

Cum arată dezvoltarea

are $n+1$ termeni;
exponentul lui $a$ scade de la $n$ la $0$ , iar al lui $b$ crește de la $0$ la $n$ ;

Coeficienții binomiali se pot citi și din triunghiul lui Pascal: rândul $n+1$ conține $C_n^0,\ldots,C_n^n$ , pe margini stă iar fiecare alt număr este suma celor două numere de deasupra lui, din stânga și din dreapta.

Termenul general
$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$ , cu este termenul de rangul Rangul este cu mai mare decât primul termen este (pentru al cincilea este (pentru

Un reper al paginii, nu o citare din manual — ordinea de lucru la un item:

1)scrie $T_{k+1}$ cu $a$ și $b$ din enunț;
2)trece radicalii în puteri cu exponent rațional ( $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ , exponentul lui se înmulțește cu cel al lui cu apoi exponenții lui se adună;

Dacă $n$ nu e dat, îl dă o condiție din enunț: de exemplu suma unor coeficienți binomiali (proprietățile de mai jos), valoarea unui coeficient binomial sau a unui termen; itemii de bacalaureat de mai jos arată fiecare variantă.

Proprietățile coeficienților binomiali

Suma tuturor: $C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^n=2^n$ (se obține din formula lui Newton pentru

Rangurile rezultă din $T_{k+1}$ : pentru $n=2k$ termenul de mijloc este $T_{k+1}$ , adică de rangul pentru cei doi termeni de mijloc sunt și de ranguri și (deducție a paginii din și din proprietățile de mai sus, nu o citare).

Coeficientul termenului și coeficientul binomial
Când $a$ și $b$ au ei înșiși coeficienți, cele două numere diferă. De exemplu, în $(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$ termenul al treilea, are coeficientul dar coeficientul lui binomial este doar Citește cu atenție care dintre ele se cere.

Binomul lui Newton: termenul general, coeficienți binomiali

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină