Математика, BAC · Реальный профиль · Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей и математической статистики · Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Бином Ньютона: общий член, биномиальные коэффициенты

Бином Ньютона на бакалавриате, реальный профиль: формула разложения, общий член и свойства биномиальных коэффициентов. Здесь правила из учебника и шаги для задания экзамена: найти n по условию, найти нужный член, проверить k.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля раздел XII.3 программы бакалавриата включает по этой теме четыре пункта: бином Ньютона, формулу общего члена разложения бинома, основные свойства биномиальных коэффициентов и свойства разложения бинома. В учебнике для 12 класса упражнения к этому параграфу стоят под заголовком «Реальный профиль». Среди компетенций модуля III куррикулума для лицеев — 3.4 (применение бинома Ньютона и/или формулы общего члена при решении задач) и 3.5 (использование свойств биномиальных коэффициентов и разложения бинома). Сочетания $C_n^k$ — соседняя тема, «Элементы комбинаторики»; здесь они считаются известными.

Формула бинома Ньютона
Для $n\in\mathbb N^*$ :
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^nb^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$ .
Правая часть равенства — это разложение, а числа $C_n^0,C_n^1,\ldots,C_n^n$ в нём — биномиальные коэффициенты. Для разности пишут $a-b=a+(-b)$ и получают
$(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k$ : знаки чередуются, начиная с плюса.

Как устроено разложение

в нём $n+1$ членов;
показатель степени $a$ убывает от $n$ до $0$ , а показатель степени $b$ возрастает от $0$ до $n$ ;

Биномиальные коэффициенты можно прочитать и в треугольнике Паскаля: строка $n+1$ содержит $C_n^0,\ldots,C_n^n$ , по краям стоит а каждое другое число равно сумме двух чисел над ним, слева и справа.

Общий член разложения
$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$ , где — член с номером Номер на больше первый член — (при пятый — (при

Ориентир страницы, не цитата из учебника, — порядок работы с заданием:

1)запиши $T_{k+1}$ с $a$ и $b$ из условия;
2)переведи корни в степени с дробным показателем ( $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ , показатель умножается на показатель — на затем показатели складываются;

Если $n$ не задано, его даёт условие из задания: например, сумма биномиальных коэффициентов (свойства ниже), значение биномиального коэффициента или члена; задания бакалавриата ниже показывают каждый из вариантов.

Свойства биномиальных коэффициентов

Сумма всех: $C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^n=2^n$ (получается из формулы бинома при

Номера следуют из $T_{k+1}$ : при $n=2k$ средний член — $T_{k+1}$ , то есть имеет номер при два средних члена — и с номерами и (вывод страницы из и свойств выше, а не цитата).

Коэффициент члена и биномиальный коэффициент
Когда у $a$ и $b$ есть свои коэффициенты, эти два числа различаются. Например, в $(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$ у третьего члена коэффициент а биномиальный коэффициент всего Внимательно читай, что требуется найти.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Valery Volkov · YouTube

О чём: Репетитор объясняет формулу бинома Ньютона через число сочетаний и её запись с суммой (0:00–0:57), формулу числа сочетаний (0:57–1:33), треугольник Паскаля (2:00–3:57), затем разложения для $n=0,1,2,\ldots$ с чтением коэффициентов из треугольника (до 8:30). Общего члена, свойств коэффициентов и задач вида «найти член» в видео нет. Проверено по названию, описанию и автоматическим субтитрам, без полного просмотра.

Канал: Math_M · YouTube

О чём: Урок курса «Алгебра 11 класс» (канал готовит к ЗНО/ВНО по программе Украины: обозначения те же, но это не молдавская программа): формула разложения (0:01), треугольник Паскаля (0:41), две задачи на разложение со знаком минус и дробными степенями (1:45–4:49), свойства — сумма всех биномиальных коэффициентов $2^n$ и равенство сумм на чётных и нечётных местах (4:52), задачи на нахождение $n$ по сумме (с 5:44). В примерах сумма на чётных (или нечётных) местах получается как половина от $2^n$ . Проверено по названию, описанию и автоматическим субтитрам, без полного просмотра.

Канал: Math_M · YouTube

О чём: Продолжение того же курса: формула общего члена (0:00) и четыре задачи — тринадцатый член (0:35), средний член (1:42), номер члена, не зависящего от $x$ (3:23), биномиальный коэффициент третьего члена на $44$ больше второго и поиск члена без $x$ (4:55). Рациональных членов и условий вида «член с $x^p$ » отдельно нет. Курс подготовлен по программе Украины, не по молдавской. Проверено по названию, описанию и автоматическим субтитрам, без полного просмотра.

Бином Ньютона: общий член, биномиальные коэффициенты

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу