Matematica, BAC · Profil real · Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton. Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică · Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton

Elemente de combinatorică: permutări, aranjamente, combinări

Elemente de combinatorică la bacalaureat, profilul real: factorial, regulile adunării și înmulțirii, permutări, aranjamente și combinări. Formulele din manual, ecuațiile cu DVA și alegerea formulei potrivite.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pentru profilul real, unitatea XII.3 a programei de bacalaureat cere la combinatorică: noțiunea de mulțime ordonată și de factorial, legile combinatoricii, permutările, aranjamentele și combinările (fără repetări), proprietățile combinărilor și ecuațiile, inecuațiile cu elemente de combinatorică. Binomul lui Newton, din aceeași unitate, este o temă separată.

Mulțimea ordonată și factorialul
Într-o mulțime ordonată contează nu doar ce elemente are, ci și în ce ordine sunt luate. Ea se scrie între paranteze rotunde, iar două mulțimi ordonate sunt egale numai dacă au aceleași elemente în aceeași ordine: $(8,9,10)$ și $(8,10,9)$ sunt diferite.

Factorialul lui $n$ este produsul $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$ . Se convine că $0!=1$ , iar pentru $n\ge1$ avem $n!=(n-1)!\cdot n$ . Cu această egalitate un factorial mare se scrie cu ajutorul celui mai mic și fracția se simplifică; manualul arată, de exemplu, $\dfrac{(n-1)!}{(n-2)!}=n-1$ și $\dfrac{(2n)!}{(2n-1)!}=2n$ .

Legile combinatoricii
În manual, regulile fundamentale ale combinatoricii sunt două:

regula înmulțirii: numărul perechilor formate dintr-un element al lui $A$ și unul al lui $B$ este $\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\cdot\operatorname{card}B$ ; la fel pentru $k$ mulțimi,

Un reper al paginii, nu o citare din manual: alegerile care se fac toate, una după alta, se înmulțesc; cazurile care nu se pot produce împreună se adună.

Permutări, aranjamente, combinări
Toate trei pornesc de la o mulțime cu $n$ elemente și nu repetă elemente:

Ce numeri	Notația	Formula
ordonările tuturor celor $n$ elemente	$P_n$	$n!$
submulțimile ordonate cu $m$ elemente (ordinea contează)	$A_n^m$

Formulele pentru $A_n^m$ și $C_n^m$ sunt valabile pentru $m,n\in\mathbb N$ , Cazuri particulare:

La aranjamente ordinea contează: $(1,2)$ și $(2,1)$ sunt două aranjamente. La combinări nu contează: $\{1,2\}$ și $\{2,1\}$ sunt o singură combinare. Dintr-o combinare cu $m$ elemente se obțin aranjamente, de aceea

Proprietățile combinărilor

$C_n^m=C_n^{n-m}$ , pentru $0\le m\le n$ (combinări complementare); de exemplu

Ecuații și inecuații
În cele două exemple rezolvate din manual ordinea de lucru este aceeași:

1)Se scrie domeniul valorilor admisibile (DVA): necunoscuta este număr natural, numerele de sub factoriale nu pot fi negative (la ecuația din manual, $n-1\ge0$ ), iar la $C_{2n}^7$ numărul de sus trebuie să fie cel puțin $7$ , adică

La inecuația $C_{2n}^7>C_{2n}^5$ manualul pornește de la $n\ge3{,}5$ , și ajunge la

Combinatorica la examen
Itemii de examen care cer combinatorică sunt probleme de probabilitate. Probabilitatea clasică se tratează separat, la probabilități; aici ajunge să știi că este raportul $\dfrac mn$ dintre numărul $m$ al cazurilor favorabile și numărul $n$ al tuturor cazurilor egal posibile, iar combinatorica numără pe $m$ și pe $n$ . Numărările cu repetări (de pildă aruncări ale unui zar, rezultate) se fac tot cu regula înmulțirii pentru mulțimi; formulele rămân pentru cazul fără repetări.

Limita temei
Programa cere permutări, aranjamente și combinări fără repetări; manualul le numește probleme simple, fără repetări de elemente.

Elemente de combinatorică: permutări, aranjamente, combinări

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină