Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real, unde matematica este disciplină obligatorie la BAC. Unitatea X.7 a programei începe cu noțiunile geometrice fundamentale, apoi cere cercul cu coardele, arcele și discul, relațiile metrice în cerc, poziția unei drepte față de cerc, unghiul la centru și unghiul înscris. În manualul de clasa a X-a tema stă în modulul 4, care recapitulează și completează figurile geometrice în plan.
Noțiunile fundamentale
Punctul, dreapta, planul, distanța și măsura unghiului nu se definesc. Relațiile dintre ele le exprimă axiomele, propoziții considerate adevărate de la început. De exemplu, prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, iar orice unghi are o singură măsură în grade, între 0∘ și 180∘.
Cercul și discul
- Cercul C(O,R), cu R>0, cuprinde toate punctele planului care se află exact la distanța R de centrul O.
- Punctele cu OM<R formează interiorul cercului, cele cu OM>R exteriorul.
- Discul D(O,R) conține punctele aflate la cel mult R de O: cercul împreună cu interiorul lui.
- Coarda are ambele capete pe cerc; coarda care trece prin centru este diametrul.
Coarde și arce
- Un diametru dus prin mijlocul unei coarde care nu este diametru face cu ea un unghi drept. Manualul spune că și reciproca, teorema cu ipoteza și concluzia schimbate între ele, este adevărată: diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul ei. Așadar perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul ei: raza, jumătatea coardei și distanța de la centru la coardă formează un triunghi dreptunghic.
- Coardele unui cerc au aceeași lungime exact atunci când se află la aceeași distanță de centru.
- Coardele de aceeași lungime subîntind arce de aceeași măsură.
- Două coarde paralele cuprind între ele arce congruente.
Dreapta și cercul
Compară distanța d de la centru la dreaptă cu raza:
| Relația | Dreapta este |
|---|
| d>R | exterioară cercului |
| d=R | tangentă la cerc |
| d<R | secantă, taie cercul în două puncte |
Tangenta atinge cercul într-un singur punct și formează un unghi drept cu raza care ajunge în acel punct. Reciproc, dreapta perpendiculară pe o rază în capătul ei de pe cerc este tangentă. Din același punct exterior se duc două tangente: cele două segmente de tangentă sunt egale, iar centrul cercului stă pe bisectoarea unghiului format de ele.
Două cercuri
Două cercuri pot fi exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior, concentrice sau unul în interiorul celuilalt. În problemele manualului, cercurile de raze 15 cm și 25 cm tangente exterior au centrele la 40 cm, iar cercurile de raze 18 cm și 30 cm tangente interior la 12 cm. Urmărește calculul din cele două răspunsuri: 15+25=40 și 30−18=12.
Unghi la centru, arce, unghi înscris
- Unghiul la centru are vârful în O. Partea cercului din interiorul lui este arcul mic, cea din exterior arcul mare.
- Un arc mic măsoară cât unghiul la centru care îl cuprinde; arcul mare are 360∘ minus arcul mic; un semicerc are 180∘.
- Unghiul înscris își are vârful pe cerc, iar fiecare latură a lui mai taie cercul într-un punct. Măsura lui este jumătate din arcul cuprins între laturi, deci unghiul la centru pe același arc este dublul lui.
- Două unghiuri înscrise care se sprijină pe același arc au aceeași măsură. Când desenul lipsește, vârful poate sta pe oricare dintre cele două arce: pentru m(∠ABD)=50∘, manualul dă pentru două răspunsuri, sau
Relații metrice în cerc
Prin punctul M duci o dreaptă oarecare, care taie cercul în A și B. Oricum ai alege dreapta, produsul MA⋅MB iese același; el se numește puterea punctului M față de cerc. De aici, pentru două coarde AB și CD care se taie în M: Cu
- M în interiorul cercului: MA⋅MB=R2−a2;
- M în exteriorul cercului: MA⋅MB=a2−R2.
Cum alegi calea
Fă desenul și marchează centrul. Un unghi cu vârful pe cerc cere arcul pe care se sprijină. O tangentă cere raza dusă în punctul de tangență și unghiul drept dintre ele. O coardă și distanța până la centru cer perpendiculara din centru. Două coarde sau două secante prin același punct cer puterea punctului.
