Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Figuri geometrice în plan

Triunghiuri: asemănare, Thales, teorema sinusurilor și a cosinusului

Triunghiul la BAC, profilul real: clasificări, congruență, linii importante, asemănare și Thales, bisectoarea, teoremele sinusurilor și cosinusului. Aici ai definițiile și teoremele din manualul de clasa a X-a, pe care le cer itemii.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

X.7. Figuri geometrice în plan - Triunghiuri. Clasificări. - Triunghiuri congruente. - Linii importante în triunghi. Proprietăți. - Triunghiuri asemenea. Criterii. Teorema lui Thales. Teorema fundamentală a asemănării. - Teorema bisectoarei unghiului interior al triunghiului. - Relații metrice în triunghi. Teorema sinusurilor. Teorema cosinusului. - Triunghi înscris în cerc. Triunghi circumscris cercului.

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Tema face parte din unitatea X.7 a programei BAC, „Figuri geometrice în plan”, iar pentru profilul real matematica este probă obligatorie. Programa cere aici: clasificarea triunghiurilor, triunghiurile congruente, liniile importante, asemănarea cu teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării, teorema bisectoarei, relațiile metrice (teorema sinusurilor și a cosinusului), triunghiul înscris în cerc și cel circumscris unui cerc. În manualul de clasa a X-a toate acestea sunt în modulul 4, încheiat cu paragraful despre relațiile metrice.

Clasificări și unghiuri

După unghiuri: ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), dreptunghic (un unghi drept), obtuzunghic (un unghi obtuz).
După laturi: scalen (laturi diferite), isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate laturile congruente).
Suma unghiurilor interioare este $18 0^{\circ}$ . Unghiul exterior este adiacent și suplementar unui unghi interior; el este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente, deci mai mare decât fiecare dintre ele.

Triunghiuri congruente
Congruența cere laturile și unghiurile respective congruente, iar ordinea vârfurilor din notație contează. Ca să o demonstrezi ajung trei elemente, după unul dintre criterii: LLL (trei laturi), LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU (o latură și cele două unghiuri alăturate ei). Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente.

Linii și puncte importante

Linia	Se intersectează în	Ce reții
mediana	centrul de greutate $G$	$G A = \frac{2}{3} m_{a}$ , raport $2 : 1$ de la vârf
mediatoarea	centrul cercului circumscris	egal depărtat de vârfuri
bisectoarea	centrul cercului înscris	cercul tangent la toate laturile
înălțimea	ortocentrul	dreptele suport sunt concurente

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi, este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei. Pentru mediană există formula $4 m_{a}^{2} = 2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}$ .

Asemănare și Thales
Triunghiurile asemenea au unghiurile respective congruente și laturile proporționale, cu același raport $k$ . O paralelă la o latură formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat (teorema fundamentală a asemănării) și taie pe ele segmente proporționale (Thales). Criteriile de asemănare: două unghiuri congruente; două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruent; trei laturi proporționale.

Teorema bisectoarei
Bisectoarea unghiului $A$ împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate: $\frac{B A ^{'}}{A ^{'} C} = \frac{A B}{A C}$ . Segmentul lipit de corespunde laturii

Triunghiul dreptunghic
Cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $A D$ : $A B^{2} = B C \cdot B D$ și $A C^{2} = B C \cdot C D$ (teorema catetei), (teorema înălțimii), (Pitagora). Într-un triunghi dreptunghic cu catetele și ipotenuza mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, iar mediana dusă pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză, deci raza cercului înscris este

Teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Sinusurilor: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R$ , unde este raza cercului circumscris.

Sfat de metodă: teorema sinusurilor se potrivește când știi o latură și unghiul opus ei, iar teorema cosinusului, când știi două laturi și unghiul dintre ele sau toate trei laturile.

Valorile din calcule: $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ,

Triunghi înscris, triunghi circumscris
Triunghiul este înscris într-un cerc când vârfurile lui sunt pe cerc; centrul acestui cerc este punctul de intersecție al mediatoarelor. Triunghiul este circumscris unui cerc când laturile lui sunt tangente la cerc; centrul cercului este punctul de intersecție al bisectoarelor. Teorema bisectoarei și cele două teoreme metrice sunt noțiunile pe care curriculumul de clasa a X-a le numește noi în această unitate.

Triunghiuri: asemănare, Thales, teorema sinusurilor și a cosinusului

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină