Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare
Sisteme de ecuații liniare: regula lui Cramer, metoda lui Gauss
Sistemele de ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute, partea a doua a temei XI.5 din programa de bacalaureat, profilul real. Aici ai regula lui Cramer, metoda lui Gauss, compatibilitatea, sistemele omogene și discuția după parametru.
XI.5. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare
- Sisteme de ecuații liniare de tipul m × n, m, n ∈ ℕ∗, m ≤ 3, n ≤ 3
- Regula lui Cramer, metoda lui Gauss.
- Sisteme de ecuații liniare omogene de tipul m × n, m, n ∈ ℕ∗, m ≤ 3, n ≤ 3.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa La profilul real, unitatea XI.5 a programei de bacalaureat se încheie cu sistemele de ecuații liniare: sisteme cu cel mult trei ecuații și cel mult trei necunoscute, regula lui Cramer, metoda lui Gauss și sistemele omogene de aceleași dimensiuni. Programa cere și să stabilești când un sistem este compatibil sau incompatibil și să alegi metoda potrivită. Programa cere și matricea inversă de ordinul doi și ecuațiile matriceale AX=B cu matrice de ordinul doi. Curriculumul de clasa a XI-a merge până la patru ecuații și patru necunoscute și numește metoda matriceală printre metodele de rezolvare a sistemelor. Determinanții și matricea inversă sunt pe pagina despre matrice și determinanți; de aici îți trebuie două reguli: a11a21a12a22=a11a22−a12a21, iar determinantul de ordinul 3 este o sumă de șase produse, pe care o calculezi cu regula triunghiurilor sau cu regula lui Sarrus.
Noțiunile de bază Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute are coeficienții necunoscutelor aij și termenii liberi b1,…,bm. Din coeficienți se formează matricea sistemului dacă îi alipești coloana termenilor liberi, obții matricea extinsă Scris matriceal, sistemul este
O soluție este un șir ordonat de n numere care, pus în locul necunoscutelor, face adevărată fiecare ecuație.
Sistemul este compatibil dacă are cel puțin o soluție: compatibil determinat când soluția e unică, compatibil nedeterminat când are mai multe. Fără nicio soluție, este incompatibil.
Un sistem liniar care are două soluții are, de fapt, o infinitate.
Două sisteme sunt echivalente când au aceeași mulțime de soluții.
Dacă două ecuații au același membru stâng și membri drepți diferiți, sistemul este incompatibil.
A rezolva un sistem înseamnă două lucruri: să stabilești dacă e compatibil și, dacă este, să-i afli toate soluțiile.
Regula lui Cramer Se aplică unui sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute. Calculezi determinantul principal Δ=detA. Determinanții secundari Δ1,Δ2,Δ3 se obțin din punând coloana termenilor liberi în locul coloanei necunoscutei respective; celelalte coloane rămân pe loc. Dacă sistemul este compatibil determinat și
Exemplul din manual: pentru 2x1−4x2=3,3x1+2x2=1 avem deci și Aceeași soluție unică se scrie și matriceal: dacă este inversabilă, Când regula lui Cramer nu dă răspunsul, iar exemplele din manual arată că sunt posibile ambele situații: sistemul este compatibil nedeterminat, iar este incompatibil, deși la amândouă De aceea acest caz se cercetează cu metoda lui Gauss.
Metoda lui Gauss Numită și metoda eliminărilor succesive, se aplică oricărui sistem liniar, pătratic sau nu. Lucrezi pe matricea extinsă cu trei transformări care nu schimbă mulțimea soluțiilor: permuți două linii, înmulțești o linie cu un număr nenul, aduni la o linie altă linie înmulțită cu un număr. Scopul este o matrice eșalon: în fiecare linie, primul element nenul stă mai la dreapta decât în linia de deasupra.
Apoi numeri liniile nenule ale formei eșalon A1 (partea din stânga barei) și ale lui Aˉ1:
Ce vezi în forma eșalon
Concluzia
Aˉ1 are mai multe linii nenule decât A1: o linie 0=b cu b=0
Sistemul triunghiular se rezolvă de jos în sus: din ultima ecuație afli ultima necunoscută, o înlocuiești în ecuațiile de deasupra și urci până la prima. Când r<n, alegi r necunoscute principale, pe celelalte le notezi cu parametri (x3=α), le treci în membrul drept cu semnul schimbat și exprimi necunoscutele principale prin α. Rezultatul este soluția generală; o valoare dată lui α produce o soluție particulară.
Sisteme omogene Un sistem este omogen când toți termenii liberi sunt 0. El este mereu compatibil, fiindcă admite soluția nulă. Dacă forma eșalon a matricei lui are n linii nenule, soluția nulă este singura. Dacă are mai puține, sistemul este compatibil nedeterminat; așa se întâmplă când are mai puține ecuații decât necunoscute sau când e pătratic și detA=0. Pe scurt, un sistem omogen pătratic are și soluții nenule exact atunci când detA=0.
Discuția după un parametru Programa o are printre exemplele de itemi: itemul 50 cere valorile reale ale lui m pentru care un sistem de trei ecuații cu parametru este incompatibil. La un sistem pătratic poți lucra așa: calculezi Δ în funcție de parametru și afli valorile la care se anulează; pentru celelalte valori sistemul este compatibil determinat și aplici regula lui Cramer; fiecare valoare la care Δ=0 o pui în sistem și o cercetezi separat, cu metoda lui Gauss.
Manualul rezolvă un exemplu de acest fel direct cu metoda lui Gauss, fără Δ: aduce matricea extinsă cu parametrul α la forma eșalon și discută după elementul 6−3α. Pentru α=2 sistemul este triunghiular, deci compatibil determinat; pentru α=2 este incompatibil.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Regula lui Cramer pentru sisteme de două și de trei ecuații: matricea sistemului, determinantul principal, determinanții secundari, un exemplu 2×2, unul 3×3 și o problemă de economie rezolvată cu un sistem. Lecția de profil real a profesoarei Natalia Ovcinnicova.
Ce acoperă: Transformările care dau sisteme echivalente, matricea extinsă adusă la forma eșalon, criteriul de compatibilitate și trei exemple: un sistem incompatibil, unul compatibil determinat și un sistem omogen compatibil nedeterminat. Primele trei minute sunt istoria metodei.
Ce acoperă: Metoda lui Gauss pe exemple: un sistem 3×3 cu soluție unică, un sistem cu patru necunoscute compatibil nedeterminat, cu soluția generală și una particulară, iar de la 11:47 discuția după un parametru a unui sistem de trei ecuații cu patru necunoscute. Ambele exemple cu patru necunoscute depășesc programa de bacalaureat, care se oprește la trei.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
18 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Manual · Ion Achiri, Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2020 · modulul 7, p. 191, 197–200, 213–221 · în română
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
