Что требует программа
Эта страница — для реального профиля, где математика на BAC обязательна. Раздел X.7 программы открывается основными геометрическими понятиями, затем идут окружность с хордами, дугами и кругом, метрические соотношения в окружности, взаимное расположение прямой и окружности, центральный и вписанный углы. В учебнике 10 класса это модуль 4, где фигуры на плоскости повторяют и дополняют.
Основные понятия
Точку, прямую, плоскость, расстояние и величину угла не определяют. Отношения между ними выражают аксиомы — утверждения, которые заранее считаются верными. Например, через две различные точки проходит ровно одна прямая, а у каждого угла одна градусная мера, от 0∘ до 180∘.
Окружность и круг
- Окружность C(O,R), R>0, состоит из точек плоскости, удалённых от центра O ровно на R.
- Точки с OM<R образуют внутреннюю область окружности, точки с OM>R — внешнюю.
- Круг D(O,R) — точки, удалённые от O не больше чем на R, то есть окружность вместе с внутренней областью.
- Хорда соединяет две точки окружности; хорда через центр — диаметр.
Хорды и дуги
- Диаметр через середину хорды, не являющейся диаметром, образует с ней прямой угол. Учебник говорит, что обратное утверждение, где условие и заключение поменяли местами, тоже теорема: диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через её середину. Значит, перпендикуляр из центра на хорду попадает в её середину: радиус, половина хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник.
- Хорды одной окружности равны ровно тогда, когда одинаково удалены от центра.
- Равные хорды стягивают равные дуги.
- Две параллельные хорды отсекают между собой равные дуги.
Прямая и окружность
Сравни расстояние d от центра до прямой с радиусом:
| Условие | Прямая |
|---|
| d>R | внешняя к окружности |
| d=R | касательная |
| d<R | секущая, пересекает окружность в двух точках |
Касательная имеет с окружностью одну общую точку и образует прямой угол с радиусом, идущим в эту точку. Обратно: прямая, перпендикулярная радиусу в его конце на окружности, — касательная. Из внешней точки проводят две касательные; их отрезки равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
Две окружности
Две окружности бывают внешними друг к другу, касаются внешне, пересекаются, касаются внутренне, концентрические, или одна лежит внутри другой. В задачах учебника окружности радиусов 15 см и 25 см, касающиеся внешне, имеют центры на расстоянии 40 см, а окружности радиусов 18 см и 30 см, касающиеся внутренне, — на расстоянии 12 см. Проследи арифметику двух ответов: 15+25=40 и 30−18=12.
Центральный угол, дуги, вписанный угол
- Вершина центрального угла — центр O. Часть окружности внутри угла — меньшая дуга, снаружи — большая.
- Меньшая дуга измеряется соответствующим центральным углом; большая равна 360∘ минус меньшая; полуокружность — 180∘.
- Вершина вписанного угла лежит на окружности, и каждая его сторона ещё раз пересекает окружность. Он равен половине дуги, на которую опирается, поэтому центральный угол на той же дуге вдвое больше.
- Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу, имеют одну и ту же величину. Если рисунка нет, вершина может оказаться на любой из двух дуг: при m(∠ABD)=50∘ учебник даёт для два ответа, или
Метрические соотношения в окружности
Проведи через M любую прямую, пересекающую окружность, — пусть в точках A и B. Какую прямую ни возьми, произведение MA⋅MB выходит одним и тем же; его называют степенью точки M относительно окружности. Отсюда для хорд AB и CD, пересекающихся в точке M: При
- M внутри окружности: MA⋅MB=R2−a2;
- M вне окружности: MA⋅MB=a2−R2.
Как выбрать путь
Сделай чертёж и отметь центр. Угол с вершиной на окружности — ищи дугу, на которую он опирается. Касательная — проведи радиус в точку касания и отметь прямой угол. Хорда и расстояние до центра — опусти перпендикуляр из центра. Две хорды или две секущие через одну точку — применяй степень точки.
