Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Corpuri de rotație

Cilindrul circular drept: elemente, secțiuni, arii, volum

Cilindrul circular drept la BAC, profilul real: elementele, secțiunile, ariile suprafețelor și volumul. Pagina strânge formulele și felul în care datele problemei se leagă de secțiunea axială.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real. Capitolul XII.6 „Corpuri de rotație” al programei de BAC cere la această temă cilindrul circular drept cu elementele lui, secțiunile paralele cu baza și secțiunile axiale, ariile suprafețelor și volumul. Conul și sfera au pagini separate.

Cum se obține cilindrul
Un dreptunghi rotit complet în jurul dreptei pe care se află una dintre laturile lui descrie cilindrul circular drept. Această dreaptă este axa cilindrului. Laturile perpendiculare pe axă descriu două discuri, bazele: discuri congruente, situate în plane paralele. Raza bazei este și raza cilindrului, $R$ . Latura opusă axei rămâne paralelă cu ea și descrie suprafața laterală; în fiecare poziție a rotației ea este o generatoare, adică un segment paralel cu axa, cu capetele pe cercurile bazelor. Generatoarea este perpendiculară pe baze, iar lungimea ei este înălțimea cilindrului, $H$ . Mulțimea tuturor generatoarelor formează suprafața laterală.

Un cilindru ale cărui generatoare nu sunt perpendiculare pe baze este oblic. Programa cere numai cilindrul drept, la care generatoarele sunt chiar înălțimi.

Secțiunile

Secțiunea axială este secțiunea cu un plan care trece prin axă. Este un dreptunghi cu laturile $H$ și $2R$ , adică înălțimea și diametrul bazei. Aria ei este $2RH$ , iar diagonala $d$ a ei verifică $d^2=H^2+4R^2$ , după teorema lui Pitagora. Dacă secțiunea axială este pătrat, $H=2R$ .
Secțiunea paralelă cu baza este un disc congruent cu baza, deci de rază $R$ și arie $\pi R^2$ . Translația în direcția generatoarei aplică baza pe discul din planul secant.
Secțiunea paralelă cu axa, pe care programa nu o numește, dar o întâlnești în problemele manualului, este un dreptunghi cu o latură egală cu generatoarea.

Desfășurata
Dacă tai suprafața laterală după o generatoare și o desfaci, obții un dreptunghi cu laturile $2\pi R$ , lungimea cercului bazei, și $H$ . Desfășurata întregului cilindru este acest dreptunghi împreună cu cele două discuri ale bazelor. Din ea se citește aria laterală.

Formulele

Mărimea	Formula
aria unei baze	$A_B=\pi R^2$
aria laterală	$A_L=2\pi RH$

Aria totală este aria laterală plus ariile celor două baze. Volumul se obține comparând cilindrul cu o prismă de aceeași înălțime și cu aceeași arie a bazei: după principiul lui Cavalieri cele două corpuri au același volum, deci $V=A_B\cdot H$ . Din formulă se vede cum se schimbă volumul: dacă dublezi raza, volumul se înmulțește cu $4$ , iar dacă dublezi înălțimea, cu $2$ (deducție din formulă, nu o frază a manualului).

Același dreptunghi, doi cilindri
Un dreptunghi cu laturile $a>b$ dă, rotit în jurul laturii $a$ , cilindrul cu $R=b$ și $H=a$ , cu volumul $\pi b^2a$ . Rotit în jurul laturii dă cilindrul cu și cu volumul Aria laterală este aceeași, dar volumele diferă.

Cum folosești formulele

De obicei primul pas este să afli $R$ și $H$ din datele problemei; restul se calculează din ele. Exemplul de mai jos se rezolvă așa: datele despre secțiunea axială dau un sistem în $R$ și $H$ .
Rezultatul rămâne exact, cu $\pi$ și cu unitatea de măsură: $\text{cm}^2$ pentru arii, pentru volum.

Cilindrul circular drept: elemente, secțiuni, arii, volum

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină