Matematica, BAC · Profil real · Geometrie · Poliedre

Piramida și trunchiul de piramidă regulată: secțiuni, arii, volum

Piramida și trunchiul de piramidă regulată la BAC, profilul real: elemente, secțiuni, arii și volum. Aici ai definițiile, teoremele și formulele din manualele de clasa a XI-a și a XII-a.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real. La capitolul XII.5 „Poliedre” programa cere piramida (elemente, clasificare), secțiunile paralele cu baza și cele care conțin înălțimea și o diagonală a bazei, ariile suprafețelor și volumul, apoi aceleași puncte pentru trunchiul de piramidă regulată.

Piramida și elementele ei
Se ia un poligon $A_1A_2\ldots A_n$ și un punct $V$ din afara planului lui. Dacă se unește $V$ prin segmente cu toate punctele poligonului, figura umplută de ele este piramida $VA_1A_2\ldots A_n$ . Poligonul este baza, $A_i$ sunt vârfurile bazei, $V$ este vârful piramidei, segmentele $VA_i$ sunt muchiile laterale, iar triunghiurile $VA_iA_{i+1}$ sunt fețele laterale. Perpendiculara $VO$ pe planul bazei (punctul $O$ se află în acest plan) este înălțimea piramidei; și lungimea ei $H$ se numește înălțime. După numărul de laturi ale bazei, piramida se numește triunghiulară, patrulateră, pentagonală și așa mai departe.

Piramida regulată
La piramida regulată baza este un poligon regulat, iar înălțimea cade în centrul lui (manualul numește acest punct centrul de simetrie al bazei; este centrul comun al cercului circumscris și al celui înscris în poligon). Fețele laterale sunt atunci triunghiuri isoscele congruente, iar înălțimea lor dusă pe latura bazei se numește apotema piramidei.

Unde cade înălțimea
La o piramidă oarecare, locul piciorului înălțimii hotărăște tot restul calculului:

dacă muchiile laterale sunt congruente (sau sunt la fel de înclinate față de planul bazei, ori fac unghiuri egale cu înălțimea), baza are un cerc circumscris, iar înălțimea cade în centrul lui;
dacă unghiurile diedre de la bază sunt congruente (sau înălțimea face unghiuri egale cu fețele laterale, ori înălțimile fețelor laterale duse din vârf sunt egale), în bază se poate înscrie un cerc, iar înălțimea cade în centrul lui.

Unghiurile diedre de la bază sunt cele dintre planul bazei și fețele laterale. Un unghi diedru se măsoară cu unghiul lui liniar, adică intersecția lui cu un plan perpendicular pe muchie. Fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe o latură a bazei, iar $O$ de aceeași parte a dreptei acelei laturi ca baza (la cercul înscris, $O$ este în interiorul bazei, deci este așa). Atunci, din teorema celor trei perpendiculare, $VM\perp$ latura, iar unghiul diedru de la acea latură este $\angle VMO$ , din triunghiul dreptunghic dacă este de cealaltă parte, unghiul diedru este Unghiul unei muchii laterale cu planul bazei este fiindcă proiecția muchiei pe plan este

Secțiuni
Secțiunea diagonală a piramidei este secțiunea cu un plan care trece prin vârf și printr-o diagonală a bazei. Dacă piciorul înălțimii se află pe acea diagonală (la piramida patrulateră regulată, pe ambele), secțiunea conține înălțimea: este un triunghi în care $VO$ este înălțime. Un plan paralel cu baza, aflat la distanța $h$ de vârf, taie piramida de înălțime $H$ după un poligon asemenea cu baza, cu raportul de asemănare $k=\dfrac{h}{H}$ ; aria secțiunii se raportă la aria bazei ca

Arii
Aria laterală $A_L$ este suma ariilor fețelor laterale, iar aria totală este $A_T=A_L+A_B$ , cu aria bazei. La piramida regulată, cu apotema semiperimetrul bazei și raza a cercului înscris în bază: La o piramidă oarecare se adună ariile fețelor. Pentru orice poligon cu cerc înscris de rază aria este (împarte-l în triunghiuri cu vârful în centrul cercului: fiecare are înălțimea deci

Volumul
$V=\dfrac13A_B\cdot H$ . În manual formula se obține împărțind o prismă triunghiulară în trei piramide triunghiulare cu volume egale.

Trunchiul de piramidă
Un plan paralel cu baza împarte piramida în două corpuri: o piramidă mică lângă vârf și un trunchi de piramidă. Trunchiul are două baze: cea mică este poligonul secțiunii, cea mare este baza piramidei inițiale; fețele laterale sunt trapeze, laturile lor neparalele sunt muchiile laterale, iar înălțimea este segmentul perpendicular pe planele ambelor baze, cu capetele în ele. Baza mică este o secțiune paralelă cu baza, deci bazele sunt asemenea, iar ariile lor se raportă ca pătratele distanțelor lor până la vârf. Trunchiul obținut dintr-o piramidă regulată se numește regulat, iar înălțimea unei fețe laterale a lui este apotema. Manualul nu dă o definiție separată a clasificării trunchiurilor (paginile 158–159); ele se numesc după baza lor, ca în problemele lui: trunchi de piramidă triunghiulară regulată, patrulateră regulată. Secțiunile trunchiului sunt diagonale, paralele cu bazele și care conțin înălțimea; un plan prin înălțime taie bazele paralele după segmente paralele, deci o asemenea secțiune este un trapez.

Aria totală a trunchiului este $A_T=A_L+A_b+A_B$ , cu aria bazei mici și aria bazei mari. La trunchiul regulat, cu laturile bazelor și apotema și laturi ale bazei: Volumul trunchiului de înălțime este diferența dintre volumele piramidei întregi și piramidei mici, adică

Calculul, pe scurt
Aproape orice cerere se reduce la un triunghi dreptunghic care conține înălțimea: $VOA_i$ pentru o muchie, $VOM$ pentru apotemă. Piciorul $O$ se găsește din regulile de mai sus, apoi urmează teorema lui Pitagora sau trigonometria. În variantele de BAC 2022–2026 din arhiva ANCE apare piramida (cele șase subiecte de mai jos); trunchi de piramidă nu apare, deși programa îl cere.

Piramida și trunchiul de piramidă regulată: secțiuni, arii, volum

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină