Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Тела вращения

Прямой круговой цилиндр: элементы, сечения, площади, объём

Прямой круговой цилиндр на BAC, реальный профиль: элементы, сечения, площади поверхностей и объём. Здесь формулы и то, как данные задачи связаны с осевым сечением.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники

Что нужно знать

Что требует программа
Страница для реального профиля. Раздел XII.6 «Тела вращения» программы BAC требует по этой теме прямой круговой цилиндр и его элементы, сечения, параллельные основанию, осевые сечения, площади поверхностей и объём. Конус и шар разобраны на отдельных страницах.

Как получается цилиндр
Прямоугольник, полностью повёрнутый вокруг прямой, на которой лежит одна из его сторон, описывает прямой круговой цилиндр. Эта прямая — ось цилиндра. Стороны, перпендикулярные оси, описывают два круга — основания: конгруэнтные круги в параллельных плоскостях. Радиус основания называют и радиусом цилиндра, $R$ . Сторона, противоположная оси, остаётся ей параллельной и описывает боковую поверхность; в каждом положении вращения она — образующая, то есть отрезок, параллельный оси, с концами на окружностях оснований. Образующая перпендикулярна основаниям, а её длина — высота цилиндра, $H$ . Множество всех образующих составляет боковую поверхность.

Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны основаниям, наклонный. Программа требует только прямой цилиндр, у которого образующие совпадают с высотами.

Сечения

Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось. Это прямоугольник со сторонами $H$ и $2R$ : высота цилиндра и диаметр основания. Его площадь равна $2RH$ , а диагональ $d$ по теореме Пифагора удовлетворяет равенству $d^2=H^2+4R^2$ . Если осевое сечение — квадрат, то $H=2R$ .
Сечение, параллельное основанию, — круг, конгруэнтный основанию: радиус $R$ , площадь $\pi R^2$ . Параллельный перенос вдоль образующей отображает основание на круг в секущей плоскости.
Сечение, параллельное оси, программа не называет, но оно встречается в задачах учебника. Это прямоугольник, одна сторона которого равна образующей.

Развёртка
Если разрезать боковую поверхность по образующей и развернуть, получится прямоугольник со сторонами $2\pi R$ (длина окружности основания) и $H$ . Развёртка всего цилиндра — этот прямоугольник и два круга оснований. По ней читается площадь боковой поверхности.

Формулы

Величина	Формула
площадь основания	$S_{\text{осн}}=\pi R^2$
площадь боковой поверхности	$S_{\text{бок}}=2\pi RH$

Полная поверхность — это боковая плюс два основания. Объём выводится сравнением с призмой той же высоты и с тем же основанием по площади: по принципу Кавальери тела имеют равные объёмы, поэтому $V=S_{\text{осн}}\cdot H$ . По формуле видно, как меняется объём: радиус вырос вдвое — объём вырастает в $4$ раза; высота выросла вдвое — объём вырастает в $2$ раза (вывод из формулы, а не фраза учебника).

Один прямоугольник, два цилиндра
Прямоугольник со сторонами $a>b$ при вращении вокруг стороны $a$ даёт цилиндр с $R=b$ , $H=a$ и объёмом $\pi b^2a$ . При вращении вокруг стороны получается цилиндр с и объёмом Площадь боковой поверхности у них общая, а объёмы разные.

Как применять формулы

Обычно первый шаг — найти $R$ и $H$ по данным задачи, остальное считается по ним. Пример ниже решается так: данные об осевом сечении дают систему относительно $R$ и $H$ .
Результат остаётся точным, с $\pi$ и единицей измерения: $\text{см}^2$ для площадей, для объёма.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: Урок на румынском языке, для 9 класса. Определение цилиндра, прямой круговой цилиндр как результат вращения прямоугольника, элементы (основания, радиус, высота, образующие, ось, боковая поверхность), наклонный цилиндр, развёртка и, с 7:30, сечение, параллельное основанию (круг, «поперечное сечение»), и осевое сечение (прямоугольник). Определения те же, что на BAC, задачи проще.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: Урок на румынском языке, для 9 класса. Площадь основания, боковой и полной поверхности и объём цилиндра (объём по аналогии с призмой), с решёнными задачами: крышки для коробки, сосуд, труба, сосуд без крышки, бассейн. Формулы те же, что на BAC, задачи проще.

Канал: OnliSkill - видеоуроки с 5 по 11 класс · YouTube

О чём: Короткий урок на русском языке, не молдавский (для российского 11 класса). Цилиндр строится из окружности и перпендикуляров к плоскости: две параллельные окружности и образующие; ось, высота, развёртка боковой поверхности и формулы площади боковой и полной поверхности. Окружность и круг в нём не различаются. Объёма, сечений и вращения прямоугольника в самом уроке нет.

Прямой круговой цилиндр: элементы, сечения, площади, объём

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу