Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Тела вращения

Конус и усечённый конус: элементы, сечения, площади, объём

Прямой круговой конус и усечённый конус на BAC, реальный профиль: элементы, сечения, площади и объём. Здесь определения и формулы из учебника 12 класса и связь между конусом и усечённым конусом.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Страница — для реального профиля. Раздел XII.6 «Тела вращения» программы BAC требует по этой теме прямой круговой конус и усечённый конус: элементы, сечения, параллельные основанию, и осевые, площади поверхностей и объём. Цилиндр и сфера вынесены на отдельные страницы.

Прямой круговой конус и его элементы
Конус опирается на круг — основание — и имеет вершину $S$ вне плоскости основания. Любой отрезок из вершины в точку окружности основания — образующая; отрезок от вершины до её проекции на плоскость основания — высота $H$ . Конус называют прямым, если эта проекция совпадает с центром основания. Тогда все образующие равны и вместе с радиусом основания $R$ и высотой образуют прямоугольный треугольник:

$G^2=R^2+H^2$

Прямой конус получается и так: прямоугольный треугольник вращают вокруг одного из катетов; неподвижный катет задаёт высоту, второй катет — радиус основания, а гипотенуза — образующую.

Сечения конуса

Осевое сечение (плоскость проходит через ось) — равнобедренный треугольник. Осевая плоскость пересекает основание по диаметру, поэтому боковые стороны треугольника равны $G$ , основание — $2R$ , высота — $H$ , а площадь $\dfrac{2R\cdot H}{2}=R\cdot H$ .

Развёртка, площади и объём конуса
Боковая поверхность развёртывается в круговой сектор радиуса $G$ с длиной дуги $2\pi R$ (угол сектора $\alpha=\dfrac{2\pi R}{G}$ ), а основание — круг радиуса $R$ . Площадь сектора даёт боковую поверхность; добавив основание, получают полную.

Величина	Формула
боковая поверхность	$A_{\text{бок}}=\pi RG$
полная поверхность	$A_{\text{полн}}=\pi RG+\pi R^2=\pi R(G+R)$

В боковую площадь входит образующая $G$ , в объём — высота $H$ .

Усечённый прямой круговой конус
Плоскость, параллельная основанию и пересекающая высоту конуса во внутренней точке, отделяет малый конус; оставшаяся часть — усечённый конус. У него два основания — круги радиусов $R$ (большее) и $r$ (меньшее). Образующая $g$ — часть образующей конуса, оставшаяся у усечённого конуса, а высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований. Усечённый конус прямой, если прямая через центры оснований перпендикулярна им; он получается и при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии — прямой, соединяющей середины оснований. Осевое сечение — равнобедренная трапеция с основаниями $2R$ и $2r$ , боковыми сторонами и высотой Опустив высоту из вершины меньшего основания, получают, что её основание делит большее основание трапеции на отрезки и (полусумма и полуразность оснований и Отрезок — катет прямоугольного треугольника с катетами и и гипотенузой

$g^2=h^2+(R-r)^2$

Плоскость, параллельная основаниям, тоже даёт в сечении круг, потому что она параллельна основанию и целого конуса.

Площади и объём усечённого конуса

Величина	Формула
боковая поверхность	$A_{\text{бок}}=\pi g(R+r)$
полная поверхность	$A_{\text{полн}}=\pi g(R+r)+\pi R^2+\pi r^2$

В полную поверхность входят два основания, то есть два круга. Формулы получаются как разность целого конуса $C$ и отсечённого малого конуса $C'$ : $A_{\text{бок}}(T)=A_{\text{бок}}(C)-A_{\text{бок}}(C')$ и Если усечённый конус задан через его можно достроить до конуса: высоты двух конусов равны и а

Порядок работы

1)Начерти осевое сечение: почти все данные видны в его треугольнике или трапеции.
2)Выпиши $R$ , $H$ , $G$ (или $R$ , $r$ , $h$ , если в условии диаметр, раздели его на

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Olga Margolis (марголис-ов.рф) · YouTube

О чём: Задачи на прямой круговой конус: образующая и диаметр основания по теореме Пифагора, площадь боковой и полной поверхности, площадь осевого сечения и сечения, параллельного основанию. Автор российский, задачи в формате ЕГЭ; объёма и усечённого конуса в видео нет.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: На румынском языке. Боковая поверхность $\pi RG$ , выведенная из развёртки конуса, полная поверхность и объём $\dfrac13\pi R^2H$ по аналогии с пирамидой; задачи про шляпы, палатки и конический резервуар. Урок для 9 класса: сечений в нём нет.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: На румынском языке. Усечённый конус как часть конуса, отсечённая плоскостью, параллельной основанию; элементы, прямой и наклонный усечённый конус, вращение равнобедренной трапеции, развёртка, осевое сечение (равнобедренная трапеция), боковая поверхность и объём как разность двух конусов; задачи про абажуры, бревно и ведро. Урок для 9 класса: итоговых формул из учебника 12 класса в нём нет.

Конус и усечённый конус: элементы, сечения, площади, объём

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу