Ce cere programa
Pagina este pentru profilul real. Capitolul XII.5 „Poliedre” al programei de BAC cere la această temă noțiunea de poliedru, cu elementele și clasificările lui, poliedrele regulate și prisma dreaptă: elementele ei, secțiunile paralele cu baza, secțiunile care conțin înălțimea și o diagonală a bazei, ariile suprafețelor și volumul.
Poliedrul
Un poliedru este un corp a cărui suprafață e formată dintr-un număr finit de suprafețe poligonale. Acestea sunt fețele poliedrului; laturile fețelor sunt muchiile, iar capetele muchiilor sunt vârfurile. Segmentul care leagă două vârfuri ce nu se află pe aceeași față este o diagonală a poliedrului. Poliedrul este convex dacă, pentru fiecare față, el rămâne în întregime de o singură parte a planului acelei fețe.
Poliedrele regulate
Poliedrul regulat este un poliedru convex ale cărui fețe sunt poligoane regulate, toate congruente între ele, iar numărul de muchii care se întâlnesc într-un vârf este același pentru toate vârfurile. Există numai cinci tipuri:
| Poliedrul regulat | Fețele |
|---|
| tetraedrul | triunghiuri echilaterale congruente |
| cubul | pătrate congruente |
| octaedrul | triunghiuri echilaterale congruente |
| dodecaedrul | pentagoane regulate congruente |
| icosaedrul | triunghiuri echilaterale congruente |
Harta noțională a manualului dă și numărul de muchii din fiecare vârf pentru trei dintre ele: 4 la octaedru, 3 la dodecaedru și 5 la icosaedru.
Prisma și elementele ei
Prisma are două baze: poligoane congruente, situate în plane paralele. Celelalte fețe sunt fețele laterale. Muchiile laterale sunt paralele și congruente, de aceea fiecare față laterală este un paralelogram. Înălțimea prismei este segmentul perpendicular pe planele bazelor, cu capetele în aceste plane; tot înălțime se numește și distanța dintre cele două plane. După poligonul de la bază, prisma este triunghiulară, patrulateră, în general n-unghiulară, iar suprafața ei constă din 2 baze și n fețe laterale.
Prisma dreaptă și cazurile ei particulare
- Prisma dreaptă are muchiile laterale perpendiculare pe baze; dacă nu sunt perpendiculare, prisma este oblică. Într-o prismă dreaptă fiecare față laterală e un dreptunghi, iar lungimea muchiei laterale este chiar înălțimea prismei.
- Prisma regulată este o prismă dreaptă cu baza poligon regulat.
- Paralelipipedul este prisma cu baza paralelogram; toate fețele lui sunt paralelograme.
- Paralelipipedul dreptunghic este un paralelipiped drept cu baza dreptunghi. Pătratul diagonalei lui este egal cu suma pătratelor celor trei muchii care pornesc dintr-un vârf: d2=a2+b2+c2.
Secțiuni
Secțiunea este intersecția nevidă a poliedrului cu un plan. Ea poate fi un punct, un segment sau un poligon; manualul studiază numai secțiunile-poligoane.
- Un plan paralel cu bazele taie prisma după un poligon congruent cu bazele.
- Planul determinat de două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe dă secțiunea diagonală, un paralelogram.
- În prisma dreaptă muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei, deci și pe orice diagonală a bazei. Secțiunea diagonală, care e un paralelogram, are atunci un unghi drept, adică este un dreptunghi: laturile lui sunt d (diagonala bazei) și l (muchia laterală), iar planul lui conține înălțimea și o diagonală a bazei. Este o consecință a definițiilor, nu o frază din manual.
Unghiul diagonalei cu baza
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul ascuțit dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan; proiecția unui punct este piciorul perpendicularei duse din el pe plan. În prisma dreaptă muchia laterală este perpendiculară pe bază, așa că proiecția diagonalei prismei pe planul bazei este diagonala bazei. Diagonala prismei, diagonala bazei și muchia laterală formează un triunghi dreptunghic, iar unghiul diagonalei prismei cu baza este unghiul pe care ea îl face cu diagonala bazei.
Arii
Aria laterală AL este suma ariilor fețelor laterale, iar aria totală AT este suma ariilor tuturor fețelor.
- Pentru orice prismă: AT=AL+2AB, unde AB este aria unei baze.
Volumul
Volumul prismei este produsul dintre aria bazei și înălțime: V=AB⋅H. Pentru paralelipipedul dreptunghic cu muchiile a, b, c dintr-un vârf, V=abc, iar pentru cubul cu muchia
