Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Дифференцируемые функции. Применение производной
Производная: определение, таблица производных, правила
Производная на бакалавриате, реальный профиль: определение, таблица производных, правила, сложная функция и производные 2-го и 3-го порядка. Здесь формулы из учебника и порядок, в котором их применять.
XI.3. Дифференцируемые функции. Применение производной
- Понятие производная функции в точке.
- Функции, дифференцируемые на множестве.
- Таблица производных элементарных функций.
- Вычисление производных. Правила вычисления производных.
- Производная сложной функции (не более трех функций).
- Производная n-го порядка n, n ∈ {2,3}
Что требует программа Тема открывает раздел XI.3 программы бакалавриата для реального профиля, проходят её в XI классе. В неё входят понятие производной, функции, дифференцируемые на множестве, таблица производных элементарных функций, правила дифференцирования, производная сложной функции (не более трёх функций) и производные 2-го и 3-го порядка. Касательная, физический смысл и исследование функции — отдельные темы, но все они начинаются с одного шага: верно найденной f′(x). В примере схемы оценивания из программы за этот шаг в задании 10 a) дают 2 балла из 8.
Определение Пусть f задана на интервале I и x0∈I. Производная f в точке x0 — это предел f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0). Если предел существует и конечен, f дифференцируема в x0. Если он бесконечен или не существует, в этой точке функция не дифференцируема.
Функция, дифференцируемая в каждой точке множества M, дифференцируема на M; функция x↦f′(x) называется производной f на M, а сам переход от f к f′ — дифференцированием. Другие обозначения: Точки, где дифференцируема, составляют область дифференцируемости часть области определения.
Дифференцируемость и непрерывность Из дифференцируемости в точке следует непрерывность в ней. Обратное неверно: f(x)=∣x∣ непрерывна в 0, но её левая производная там равна −1, а правая 1, поэтому в 0 она не дифференцируема. В нуле теряет дифференцируемость и корень nx, например, определён на а дифференцируем только на
Таблица производных
Функция
Производная
Где
c (постоянная)
0
R
x
1
R
xn,n∈N,
Правила дифференцирования Для дифференцируемых f,g и постоянной c:
(f±g)′=f′±g′ и (c⋅f)′=c⋅f′
Производная числа равна 0, в том числе числа f(x0). Поэтому f′(x0) находят в два хода: сначала формула f′(x), потом подстановка
Сложная функция (g(f(x)))′=g′(f(x))⋅f′(x): дифференцируешь внешнюю функцию, не трогая аргумент, и умножаешь на производную аргумента. Для трёх функций в цепочке три множителя: (h(g(f(x))))′=h′(g(f(x)))⋅g′(f(x))⋅f′(x). Например,
Производные высших порядков Производная от f′ — производная второго порядка f′′; производная от f′′ — третьего порядка f′′′. Порядок пишут в скобках, f(n), чтобы его не приняли за показатель степени, а Для Функция при каждом дифференцировании остаётся а проходит через
Порядок работы
1)Запиши область определения и где функция дифференцируема.
2)Посмотри, как она устроена: сумма, произведение, частное или сложная функция.
3)Примени нужное правило, затем формулы из таблицы.
4)Упрости: вынеси общий множитель, приведи к общему знаменателю.
5)Только в конце подставляй x0 или решай f′(x)=0 на области определения.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Понятие производной, производные элементарных функций, правила дифференцирования и в дополнительной части производная сложной функции; видео начинается с определения производной.
О чём: Непрерывность функции, имеющей производную; правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного с доказательством по определению; вывод производных x^n, тангенса и котангенса по этим правилам.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
y′,
dxdy,
dxdf.
f
Df′,
n≥2:
x
[0;+∞),
(0;+∞).
n≥2
nxn−1
R
xα,α∈R
αxα−1
(0;+∞)
x
2x1
(0;+∞)
sinx
cosx
R
cosx
−sinx
R
tgx
cos2x1
x=2π+kπ
ctgx
−sin2x1
x=kπ
ax,a>0,a=1
axlna
R
ex
ex
R
lnx
x1
(0;+∞)
logax
xlna1
(0;+∞)
arcsinx
1−x21
(−1;1)
arccosx
−1−x21
(−1;1)
arctgx
1+x21
R
arcctgx
−1+x21
R
(f⋅g)′=f′g+fg′
(gf)′=g2f′g−fg′ там, где g=0; при f=1 получается (g1)′=−g2g′
