Ce cere programa
Tema deschide unitatea X.5 din programa BAC pentru profilul real, unde matematica este disciplină obligatorie. Programa cere aici:
- ecuații de gradul I cu o necunoscută, inclusiv cu modul și/sau parametru;
- noțiunea de totalitate: totalități de ecuații, de inecuații, de sisteme;
- sisteme de două ecuații de gradul I cu una sau cu două necunoscute, rezolvate prin substituție, prin reducere sau grafic;
- inecuații de gradul I și sisteme de inecuații de gradul I;
- inecuații cu modul de forma ∣f(x)∣<g(x) și ∣f(x)∣<∣g(x)∣, unde semnul poate fi și >, ≤ sau ≥.
Ecuația de gradul I
Ecuația ax+b=0, cu a,b∈R, se numește liniară. Când a=0, ea este de gradul I și are exact o soluție, x=−ab. Cazul contează la ecuațiile cu parametru, unde coeficientul lui se poate anula:
| Coeficienții | Ce rămâne | Mulțimea soluțiilor |
|---|
| a=0 | ax+b=0 | {−ab} |
DVA și echivalența
DVA (domeniul valorilor admisibile) este mulțimea valorilor necunoscutei pentru care toate expresiile din ecuație au sens. Numai valorile din DVA pot fi soluții. Două ecuații sunt echivalente când au aceeași mulțime de soluții, iar echivalența se urmărește în DVA ecuației inițiale.
Sistem sau totalitate
- Sistemul cere valorile care verifică toate condițiile: mulțimea soluțiilor este intersecția mulțimilor de soluții.
- Totalitatea (paranteza dreaptă, sau „;”, sau cuvântul „sau”) cere valorile care verifică cel puțin una dintre condiții: mulțimea soluțiilor este reuniunea.
Un produs egal cu zero devine o totalitate: E1(x)⋅E2(x)=0 este echivalentă în DVA cu E1(x)=0 sau Din soluțiile totalității rămân în răspuns doar cele care aparțin DVA ecuației inițiale.
Cu o singură necunoscută, două ecuații de gradul I pot forma și un sistem, și o totalitate. Totalitatea se scrie [a1x+b1=0a2x+b2=0: de pildă, trece în sau deci Sistemul acelorași două ecuații ar păstra doar valorile comune.
Sistemul de două ecuații de gradul I
Are forma {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2, iar o soluție este o pereche ordonată care transformă ambele ecuații în egalități adevărate. Programa numește trei metode:
- 1)substituția: dintr-o ecuație exprimi o necunoscută prin cealaltă și înlocuiești expresia în a doua ecuație;
- 2)reducerea: aduni sau scazi ecuațiile, ca să dispară o necunoscută;
- 3)metoda grafică: trasezi graficele ambelor ecuații în același sistem de axe și citești coordonatele punctelor comune; dacă graficele nu se intersectează, sistemul nu are soluții.
Un sistem cu cel puțin o soluție este compatibil: determinat dacă are un număr finit de soluții, nedeterminat dacă are o infinitate. Un sistem fără soluții este incompatibil.
Ecuația cu parametru
Ecuația se rezolvă în x pentru fiecare valoare a parametrului. În exemplele manualului coeficientul lui x depinde de parametru, iar valorile care îl anulează se cercetează aparte: pentru ele rămâne 0⋅x egal cu un număr, deci R sau ∅, ca în tabelul de mai sus. Astfel, ax=2 nu are soluții pentru a=0 și are S={a2} pentru iar are pentru pentru și pentru celelalte valori ale lui
Ecuații cu modul
- Definiția modulului: desfaci ecuația în două cazuri, după semnul expresiei din modul, și păstrezi în fiecare caz doar soluțiile care respectă condiția de semn.
- ∣f(x)∣=∣g(x)∣ este echivalentă cu f(x)=g(x) sau f(x)=−g(x), ori cu f2(x)=g2(x).
Inecuații de gradul I
Au forma ax+b>0 (sau cu <, ≥, ≤), cu a=0, și se rezolvă prin transformări echivalente:
- treci termenii dintr-un membru în altul: f(x)>g(x) înseamnă f(x)−g(x)>0;
- înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr pozitiv: semnul rămâne;
- înmulțești sau împarți cu un număr negativ: semnul se inversează.
O inecuație are de obicei o infinitate de soluții, deci nu le poți verifica pe toate: de aceea fiecare transformare trebuie să fie echivalentă. Răspunsul se scrie ca interval; la 3x−6≥0, de exemplu, S=[2;+∞), capătul 2 fiind inclus.
Inecuații cu modul
| Inecuația | Este echivalentă în DVA cu |
|---|
| ∣f(x)∣≤g(x) | −g(x)≤f(x)≤g(x), adică un sistem |
| ∣f(x)∣≥g(x) |
Inecuațiile ∣f(x)∣<g(x) și ∣f(x)∣>g(x) se rezolvă la fel ca primele două rânduri. La final, sistemul de inecuații dă intersecția intervalelor, iar totalitatea dă reuniunea lor.
