Fracțiile algebrice la BAC, profilul real: DVA, amplificarea și simplificarea, adunarea, înmulțirea, împărțirea și puterea cu exponent întreg. Aici ai regulile din manualul de clasa a X-a și capcanele cu DVA.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa La profilul real, fracțiile algebrice încheie unitatea X.3 a programei de bacalaureat, după monoame și polinoame. Programa cere noțiunea de fracție algebrică și DVA ei, amplificarea și simplificarea, apoi operațiile: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere cu exponent întreg. În manualul de clasa a X-a tema este §5 al modulului 5. Curriculumul așteaptă să folosești aceste operații când simplifici expresii și când demonstrezi identități, deci le vei folosi și în alte teme, oriunde o fracție trebuie adusă întâi la o formă simplă.
Definiția și DVA O fracție algebrică, numită și rațională, este raportul QP a două polinoame, cu Q diferit de polinomul nul. DVA ei este mulțimea numerelor reale în care numitorul nu se anulează. Practic: egalezi numitorul cu zero, rezolvi ecuația și scoți soluțiile din R. La (X+1)(X−4X3)X(1−X2) numitorul se anulează în −1,−0,5,0 și 0,5, deci DVA este R∖{−1;−0,5;0;0,5}. Află DVA înainte de transformări: simplificarea îl poate schimba, iar după ea nu mai vezi ce valori erau excluse.
Descompunerea în factori Fără ea nu poți simplifica și nu găsești numitorul comun. Metodele din manual: factorul comun, gruparea termenilor, trinomul de gradul II scris ca a(X−x1)(X−x2), formulele de calcul prescurtat și combinațiile lor. La fracții apar mai ales:
Formula
Forma
diferența pătratelor
a2−b2=(a−b)(a+b)
suma cuburilor
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
Simplificarea și amplificarea
Simplifici descompunând numărătorul și numitorul în factori ireductibili și împărțind la factorii comuni, ca la fracțiile numerice. Fracția de mai sus devine 1−4X21−X.
Amplifici înmulțind numărătorul și numitorul cu același polinom de grad cel puțin 1.
Și după simplificare, și după amplificare obții o fracție egală cu cea inițială pe DVA comun, însă DVA se poate schimba: 1−4X21−X are sens și pentru sau unde fracția inițială nu are. De aceea, într-un răspuns „pe DVA” valorile excluse la început rămân excluse.
Adunarea și scăderea Cu același numitor aduni (sau scazi) numărătorii și păstrezi numitorul. Cu numitori diferiți aduci întâi fracțiile la același numitor; aici îți folosește c.m.m.m.c. al numitorilor: produsul tuturor factorilor ireductibili din descompuneri, fiecare cu exponentul cel mai mare. La final simplifici până obții o fracție ireductibilă. Exemplul din manual: pe R∖{0;3},X2−3X3+X1+X−31=X−32.
Înmulțirea, împărțirea, puterea Aceste operații urmează regulile fracțiilor ordinare și se fac pe DVA comun:
la înmulțire înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei;
la împărțire înmulțești deîmpărțitul cu inversul împărțitorului; numărătorul împărțitorului ajunge astfel la numitor, deci nici el nu are voie să fie zero;
la puterea cu exponent natural ridici la putere numărătorul și numitorul;
exponentul negativ inversează fracția: (QP)−n=(QP)n1=(PQ)n; cum este definit numai pentru aici trebuie și
Atenție la exemplul din manual cu (X2X−1)−3: acolo DVA expresiei date este scris R∖{0}, iar al rezultatului (X−1)3X6 este După regula de mai sus, la expresia dată trebuie exclus și acolo baza este iar nu este definit.
Și aici DVA al rezultatului poate fi mai larg decât cel inițial: în exemplul din manual câtul are DVA R∖{−3}, iar expresia la care se reduce, (X−2)(X+3), are sens pe tot
Partea întreagă a unei fracții Când gradul numărătorului nu este mai mic decât al numitorului, împarți cu rest: din D=I⋅C+R, cu R=0 sau gradR<gradI, rezultă ID=C+IR. Forma aceasta arată repede pentru ce valori întregi ale lui fracția ia valori întregi: manualul cere exact asta pentru
Identitățile Două expresii cu valori egale pentru orice valori din DVA lor sunt identic egale, iar egalitatea lor este o identitate. O demonstrezi transformând un membru până obții celălalt, aducând ambii membri la aceeași expresie sau arătând că diferența lor este zero.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Noțiunea de fracție algebrică, amplificarea și simplificarea, lecția profesoarei Tatiana Dediu. Titlul și descrierea repetă formularea programei de BAC; videoclipul este marcat pentru clasa a IX-a.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
diferența cuburilor
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
X=0
X=−1,
O fracție care nu se mai simplifică printr-un polinom de grad nenul este ireductibilă.
Fracțiile Q1P1 și Q2P2 sunt egale pe DVA comun dacă P1Q2=P2Q1.
