Ce cere programa
La profilul real matematica este probă obligatorie, iar unitatea X.5 a programei BAC pune la această temă:
- ecuațiile de gradul II, clasificarea și rezolvarea lor, relațiile lui Viète;
- inecuațiile de gradul II;
- interpretarea geometrică a ecuațiilor xy=k (k=0) și y=ax2+bx+c (a=0);
- sistemele de două ecuații de gradul I și II, sistemele simetrice și cele omogene de gradul II;
- ecuațiile de gradul II cu modul și cu parametru;
- ecuațiile și inecuațiile raționale cu o necunoscută.
Din clasificarea ecuațiilor de gradul II, aici găsești forma generală și forma redusă.
Ecuația de gradul II
Forma generală este ax2+bx+c=0, cu a, b, c reali și a=0. Câte soluții reale are, hotărăște discriminantul
- Δ<0: niciuna, S=∅;
- Δ=0: una singură, x=−2ab;
Pe grafic, soluțiile sunt abscisele punctelor în care parabola y=ax2+bx+c întâlnește axa Ox. Împărțind ecuația la a, obții forma redusă x2+px+q=0.
Relațiile lui Viète
Dacă x1, x2 sunt soluțiile, atunci x1+x2=−ab și la forma redusă, și Reciproca: două numere reale cu această sumă și acest produs sunt soluțiile ecuației. Așa afli suma, produsul și semnele soluțiilor fără să rezolvi ecuația. Teorema pornește de la „dacă sunt soluțiile”, iar la soluții reale nu există, deci te uiți întâi la
Parametrul
Ecuația F(x,a)=0 are parametrul a când o rezolvi în x pentru fiecare valoare a lui a. Dacă a apare în coeficientul lui x2, cercetezi întâi cazul în care acest coeficient este zero: ecuația devine de gradul I. Apoi, pentru celelalte valori ale parametrului, afli când Δ ia valoarea zero și discuți semnul lui: la Δ<0 ecuația nu are soluții reale, la are două.
Modulul
O ecuație cu modul se rezolvă prin definiția modulului, prin ∣f(x)∣=∣g(x)∣⇔f2(x)=g2(x), prin totalitatea f(x)=g(x) sau prin necunoscuta auxiliară (cu și sau prin explicitarea modulilor pe intervale. La inecuații, înseamnă sistemul iar înseamnă totalitatea sau
Inecuația de gradul II
Pentru ax2+bx+c>0 te uiți la semnul lui a și al lui Δ (x1<x2 sunt soluțiile ecuației):
La semnul ≥ adaugi și soluțiile ecuației. A doua cale: descompui trinomul în factori și aplici metoda intervalelor.
Sisteme
Punctele comune a două grafice, de exemplu ale unei drepte și ale hiperbolei xy=k, se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor. Când o ecuație este de gradul I, exprimi din ea o necunoscută și o substitui în cealaltă: pentru dreapta y=−4x+3 și hiperbola y=x3, substituția lui dă Sistemul omogen de gradul II se aduce la o formă cu o ecuație omogenă; verifici separat apoi o împarți la și ai o ecuație de gradul II în Sistemul simetric, ale cărui ecuații nu se schimbă când și își schimbă locul, se rezolvă cu Expresiile simetrice se scriu prin și iar în exemplul din manual devine Ambele duc de regulă la o totalitate de sisteme. Două proprietăți te ajută la verificare: la sistemul simetric, odată cu e soluție și la cel omogen de gradul II, și
Ecuații raționale
Fixezi DVA, treci totul în stânga, aduci membrul stâng la forma BA și rezolvi A=0 numai în DVA. O rădăcină a lui A care anulează numitorul nu este soluție.
Inecuații raționale: metoda intervalelor
Pentru polinoamele P și Q: Q(x)P(x)>0⇔P(x)Q(x)>0, iar Q(x)P(x)≥0 cere și Metoda:
- 1.aduci inecuația la forma cu 0 în dreapta;
- 2.afli zerourile numărătorului și ale numitorului;
- 3.ele împart axa (DVA) în intervale;
- 4.trasezi curba semnelor și alegi intervalele cu semnul cerut.
Curba pornește de deasupra axei din intervalul din dreapta numai când toți factorii au forma x−c, cu numere c diferite; altfel afli semnul cu valori de control, înlocuite în funcție. Când unii factori se repetă, (x−c)k, la construirea curbei aplici regula multiplicității: printr-un zerou de multiplicitate pară semnul nu se schimbă, printr-unul de multiplicitate impară se schimbă. Zerourile numitorului nu intră în răspuns, nici atunci când anulează și numărătorul.
