Что требует программа
Тема открывает раздел X.5 программы BAC для реального профиля, где математика — обязательный экзамен. Здесь программа требует:
- уравнения I степени с одним неизвестным, в том числе с модулем и/или параметром;
- понятие совокупности: совокупности уравнений, неравенств, систем;
- системы двух уравнений I степени с одним или двумя неизвестными, решаемые подстановкой, сложением или графически;
- неравенства I степени и системы неравенств I степени;
- неравенства с модулем вида ∣f(x)∣<g(x) и ∣f(x)∣<∣g(x)∣, где знак может быть и >, ≤ или ≥.
Уравнение I степени
Уравнение ax+b=0, где a,b∈R, называют линейным. Если a=0, это уравнение I степени, и у него ровно одно решение x=−ab. Случай важен в уравнениях с параметром, где коэффициент при может обратиться в нуль:
| Коэффициенты | Что остаётся | Множество решений |
|---|
| a=0 | ax+b=0 | {−ab} |
ОДЗ и равносильность
ОДЗ (область допустимых значений) собирает те значения неизвестного, для которых можно вычислить каждую часть уравнения. Решение может быть только из ОДЗ. Уравнения равносильны, когда у них одно и то же множество решений, и сравнивают их обычно на ОДЗ исходного уравнения.
Система или совокупность
- Система требует значений, при которых верны все условия: множество решений — пересечение множеств решений.
- Совокупность (квадратная скобка, знак «;» или слово «или») требует значений, при которых верно хотя бы одно условие: множество решений — объединение.
Произведение, равное нулю, превращается в совокупность: E1(x)⋅E2(x)=0 на ОДЗ равносильно E1(x)=0 или Из решений совокупности в ответ идут только те, что принадлежат ОДЗ исходного уравнения.
При одном неизвестном два уравнения I степени могут образовать и систему, и совокупность. Совокупность записывают так: [a1x+b1=0a2x+b2=0. Например, переходит в или поэтому Система из тех же двух уравнений оставила бы только общие значения.
Система двух уравнений I степени
Имеет вид {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2, а её решение — упорядоченная пара, обращающая оба уравнения в верные равенства. Программа называет три метода:
- 1)подстановка: из одного уравнения выражаешь одно неизвестное через другое и подставляешь это выражение во второе уравнение;
- 2)сложение (в учебнике X класса он назван методом приведения): складываешь или вычитаешь уравнения, чтобы одно неизвестное исчезло;
- 3)графический метод: строишь графики обоих уравнений в одной системе координат и находишь координаты общих точек; если графики не пересекаются, решений нет.
Система, у которой есть хотя бы одно решение, совместная: определённая, если решений конечное число, и неопределённая, если их бесконечно много. Система без решений — несовместная.
Уравнение с параметром
Уравнение решают относительно x при каждом значении параметра. В примерах учебника коэффициент при x зависит от параметра, и значения, при которых он равен нулю, разбирают отдельно: при них остаётся 0⋅x, равное числу, то есть R или ∅, как в таблице выше. Так, у ax=2 при a=0 решений нет, а при a=0 у уравнения при при а при остальных
Уравнения с модулем
- По определению модуля: уравнение распадается на два случая по знаку выражения под модулем, и в каждом случае остаются только решения, удовлетворяющие условию на знак.
- ∣f(x)∣=∣g(x)∣ равносильно совокупности f(x)=g(x) или f(x)=−g(x), а также уравнению f2(x)=g2(x).
Неравенства I степени
Имеют вид ax+b>0 (или со знаками <, ≥, ≤), где a=0, и решаются равносильными преобразованиями:
- переносишь слагаемые из одной части в другую: f(x)>g(x) означает f(x)−g(x)>0;
- умножаешь или делишь обе части на положительное число: знак сохраняется;
- умножаешь или делишь на отрицательное число: знак меняется на противоположный.
У неравенства обычно бесконечно много решений, и проверить их все нельзя, поэтому каждое преобразование должно быть равносильным. Ответ записывают промежутком: например, у 3x−6≥0 S=[2;+∞), и число 2 входит в ответ.
Неравенства с модулем
| Неравенство | На ОДЗ равносильно |
|---|
| ∣f(x)∣≤g(x) | −g(x)≤f(x)≤g(x), то есть системе |
| ∣f(x)∣≥g(x) |
Неравенства ∣f(x)∣<g(x) и ∣f(x)∣>g(x) решают так же, как в первых двух строках. В конце система неравенств даёт пересечение промежутков, а совокупность — их объединение.
