Что требует программа
Для реального профиля математика — обязательный экзамен. В разделе X.5 программы BAC к этой теме относятся:
- уравнения II степени: классификация, решение, соотношения Виета;
- неравенства II степени;
- геометрический смысл уравнений xy=k (k=0) и y=ax2+bx+c (a=0);
- системы двух уравнений I и II степени, симметрические и однородные системы II степени;
- уравнения II степени с модулем и с параметром;
- рациональные уравнения и неравенства с одним неизвестным.
Из классификации уравнений II степени здесь есть общий вид и приведённое уравнение.
Уравнение II степени
Общий вид — ax2+bx+c=0, где a, b, c — действительные числа и a=0. Сколько у него действительных решений, решает дискриминант
- Δ<0: ни одного, S=∅;
- Δ=0: одно, x=−2ab;
На графике решения — это абсциссы точек, где парабола y=ax2+bx+c пересекает ось Ox. Если разделить уравнение на a, получится приведённое уравнение x2+px+q=0.
Соотношения Виета
Если x1, x2 — решения, то x1+x2=−ab и для приведённого уравнения и Обратная теорема: действительные числа с такой суммой и таким произведением и есть решения уравнения. Так находят сумму, произведение и знаки решений, не решая уравнение. Теорема начинается со слов «если — решения», а при действительных решений нет, поэтому сначала смотри на
Параметр
Уравнение F(x,a)=0 называют уравнением с параметром a, когда его решают относительно x при каждом значении a. Если a стоит в коэффициенте при x2, первым разбирают случай, когда этот коэффициент равен нулю: уравнение становится уравнением I степени. Затем при остальных значениях параметра находят, когда Δ равен нулю, и разбирают его знак: при действительных решений нет, при их два.
Модуль
Уравнение с модулем решают по определению модуля, через ∣f(x)∣=∣g(x)∣⇔f2(x)=g2(x), через совокупность f(x)=g(x) или заменой где а (так из получается или раскрытием модулей на промежутках. В неравенствах — это система а — совокупность или
Неравенство II степени
Для ax2+bx+c>0 смотри на знак a и знак Δ (x1<x2 — решения уравнения):
При знаке ≥ к ответу добавляют решения уравнения. Второй путь — разложить трёхчлен на множители и применить метод интервалов.
Системы
Общие точки двух графиков, например прямой и гиперболы xy=k, находят, решая систему из их уравнений. Если одно уравнение I степени, из него выражают неизвестное и подставляют в другое: для прямой y=−4x+3 и гиперболы y=x3 подстановка даёт Однородную систему II степени приводят к виду с однородным уравнением; отдельно проверяют затем делят это уравнение на и получают уравнение II степени относительно Симметрическую систему — её уравнения не меняются, если поменять местами и — решают заменой Симметрические выражения записывают через и а в примере учебника превращается в Обе обычно сводятся к совокупности систем. Для проверки есть две опоры: в симметрической системе вместе с решением будет и в однородной системе II степени — и
Рациональные уравнения
Находишь ОДЗ, переносишь всё влево, приводишь левую часть к виду BA и решаешь A=0 только на ОДЗ. Корень числителя, который обращает в нуль знаменатель, решением не является.
Рациональные неравенства: метод интервалов
Для многочленов P и Q: Q(x)P(x)>0⇔P(x)Q(x)>0, а Q(x)P(x)≥0 требует и Порядок действий:
- 1.приводишь неравенство к виду с нулём справа;
- 2.находишь нули числителя и знаменателя;
- 3.они делят ось (ОДЗ) на интервалы;
- 4.строишь «кривую знаков» и отбираешь интервалы с нужным знаком.
Кривую начинают сверху с правого интервала только тогда, когда все множители имеют вид x−c с различными c; иначе знак находят пробными значениями, подставляя их в функцию. Если некоторые множители повторяются, (x−c)k, при построении кривой действует правило кратности: при переходе через нуль чётной кратности знак не меняется, через нуль нечётной кратности — меняется. Нули знаменателя в ответ не входят, даже если они обнуляют и числитель.
