Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Ecuații. Inecuații. Sisteme și totalități
Ecuații și inecuații iraționale: sisteme echivalente, profil real
Ecuațiile și inecuațiile iraționale din programa BAC la matematică, profilul real: DVA, ridicarea la putere, soluțiile străine, sistemele echivalente. Aici ai tipurile cerute de programă și regulile din manualul de clasa a X-a.
X.5. Ecuații. Inecuații. Sisteme şi totalități
- Ecuații iraționale de tipul: ⁿ√f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, n ∈ {2,3}; √f(x) ± √g(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ; √f(x) ± √g(x) = √h(x), a, b ∈ ℝ; g(x) · √f(x) = 0, unde f, g și h – funcții de tipurile studiate.
- Inecuații iraționale de tipul: √f(x) < g(x); g(x) · √f(x) < 0, unde f și g – funcții de tipurile studiate (semnul „<” poate fi înlocuit cu „>”, „≥”, „≤”).
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema face parte din programa BAC a profilului real, unitatea X.5. Programa numește patru tipuri de ecuații iraționale:
1)nf(x)=ax+b, cu n∈{2;3};
2)f(x)±g(x)=ax+b;
3)f(x)±g(x)=h(x);
4)g(x)⋅f(x)=0.
Din inecuații cere două tipuri: f(x)<g(x) și g(x)⋅f(x)<0, cu semnul înlocuit, după caz, prin sau
Ce este o ecuație irațională Necunoscuta stă sub un radical sau în baza unei puteri cu exponent rațional. x+1=3 și x23=8 sunt ecuații iraționale; nu este, pentru că radicalul nu conține necunoscuta. Inecuația irațională se definește la fel și se rezolvă prin aceleași metode.
Radicalul de ordin impar și cel de ordin par Radicalul de ordin impar există pentru orice număr real și este negativ când expresia de sub el e negativă. De aceea ecuația cu radical de ordin impar se rezolvă fără condiții. Radicalul de ordin par nu ia valori negative, iar teorema din manual cere condiția de semn a membrului drept:
Ecuația
Este echivalentă cu
2nf(x)=g(x)
f(x)=g2n(x) și
Sistemul din teoremă nu conține condiția f(x)≥0: ea rezultă de la sine din f(x)=g2n(x).
De unde vin soluțiile străine Ridicarea ambilor membri la o putere pară nu păstrează întotdeauna echivalența. Ecuațiile f(x)=g(x) și f(x)=−g(x) au același DVA; de aceea o valoare găsită prin ridicare la o putere pară poate să nu verifice ecuația inițială chiar dacă aparține DVA. O valoare din afara DVA este sigur străină. Soluții străine apar și după unele substituții. Ai două căi:
verifici fiecare valoare în ecuația inițială; verificarea e obligatorie ori de câte ori un pas nu a fost o echivalență în DVA;
treci de la început la un sistem fără radicali, echivalent cu ecuația, care conține și condițiile; atunci verificarea nu mai e obligatorie.
Când DVA sau condiția g(x)≥0 e mai greu de rezolvat decât ecuația, poți să nu le rezolvi și doar să verifici dacă valorile găsite le satisfac. Uneori, dimpotrivă, DVA încheie problema: dacă sistemul condițiilor nu are soluții, nici ecuația nu are.
Ecuațiile cu doi radicali Scrii DVA, izolezi un radical într-un membru și ridici la pătrat, cu termenul dublu: (a+b)2=a2+2ab+b2. Rămâne un singur radical; îl izolezi și ridici din nou. Pașii nu sunt echivalențe, deci la sfârșit verifici valorile în ecuația inițială. Dintre metodele speciale ale manualului, înmulțirea cu conjugata se aplică de regulă la f(x)±g(x)=h(x); separat, manualul dă metoda a două necunoscute auxiliare, pentru ecuațiile cu doi radicali.
Produsul egal cu zero f(x)⋅g(x)=0 este echivalentă în DVA cu sistemul: g(x)≥0 și, totodată, f(x)=0 sau Un zerou al lui intră în răspuns dacă este definită în el; un zerou al lui intră numai dacă radicalul există în el. Pe scurt, fiecare valoare trebuie să aparțină DVA al întregii ecuații.
Necunoscuta auxiliară Când aceeași expresie apare sub radical și în afara lui, notezi radicalul cu t,t≥0, și obții o ecuație fără radicali. Valorile negative ale lui t se resping, apoi revii la x.
Inecuațiile Lucrezi prin transformări echivalente. O putere impară păstrează semnul inecuației; o putere pară îl păstrează sigur acolo unde ambii membri sunt nenegativi.
Inecuația
Este echivalentă cu
f<g
g>0,f≥0,
La > și ≥ primul sistem acoperă cazul în care membrul drept e negativ: acolo inecuația e adevărată oriunde radicalul există, iar cine îl omite pierde un interval întreg. Când membrul drept e un număr negativ, totul se reduce la DVA: x−1>−3 înseamnă x≥1, iar nu are soluții. La inecuația-produs cu celelalte semne procedezi la fel ca la
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Lecție de recapitulare pentru BAC (2020). De la minutul 10 până la final: condițiile radicalului de ordin par, două ecuații iraționale rezolvate prin sistem echivalent (f=g și f=g) și o ecuație-produs cu radical, apoi inecuațiile f≤g și f>g, cu cele două cazuri, și o inecuație cu radicali scrisă ca determinant. Titlul nu numește tema; ea se aude în lecție.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
12 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
