Ce cere programa
Tema este din programa BAC a profilului real, unitatea X.5. Programa numește cinci tipuri de ecuații exponențiale:
- 1)af(x)=ag(x);
- 2)ecuații care se reduc la ecuații algebrice deja studiate;
- 3)ecuații de tipurile 1–2 cu parametru;
- 4)ecuații de forma n⋅a2x+m⋅axbx+p⋅b2x=0;
- 5)ecuații de tipurile 1–3 cu modul.
La inecuații cere două tipuri: af(x)<ag(x) (semnul poate fi și >, ≤, ≥) și inecuații care se reduc la inecuații algebrice.
Ce este o ecuație exponențială
Necunoscuta apare în exponent, iar baza puterii este o constantă pozitivă diferită de 1. Baza 1 se lasă deoparte: 1x=1 pentru orice x, deci o asemenea putere nu se comportă ca o funcție exponențială. Inecuația exponențială se definește la fel.
Ce folosești din funcția exponențială
Pentru f(x)=ax, cu a>0 și a=1:
- este definită pe tot R, așa că nu adaugă nicio restricție: DVA vine din celelalte expresii ale ecuației (un radical, o fracție, un logaritm), din exponent sau din afara lui;
- ia numai valori pozitive, iar mulțimea valorilor este (0;+∞); de aceea ax=b nu are soluții când b≤0;
- graficul trece prin punctul (0;1), fiindcă
Proprietățile puterilor
Ca să aduci membrii la aceeași bază, folosești regulile puterilor, valabile pentru orice exponent real când bazele sunt pozitive:
| Regula | Formula |
|---|
| produsul | ax⋅ay=ax+y |
| câtul | ayax=ax−y |
Așa se rescriu, de exemplu, 16x=24x, (31)x=3−x și
Ecuația af(x)=ag(x)
Pentru a>0, a=1, ea este echivalentă cu Egalezi exponenții numai după ce bazele au devenit aceleași. Dacă exponenții conțin modul, ajungi la o ecuație cu modul și o rezolvi după regulile ei. Ecuația cu are o singură soluție, când nu este o putere a lui cu exponent cunoscut, răspunsul rămâne scris cu logaritm.
Metodele pentru ecuațiile reductibile
- 1)Necunoscuta auxiliară. Dacă apar ax și a2x, notezi ax=t, cu t>0, rezolvi ecuația în t și păstrezi numai valorile pozitive.
La ecuațiile cu parametru ține minte că ax ia toate valorile pozitive și numai pe ele: ecuația ax=c are soluție exact atunci când c>0.
Inecuațiile
| Baza | af(x)<ag(x) este echivalentă cu |
|---|
| a>1 | f(x)<g(x): semnul rămâne |
Inecuațiile reductibile se rezolvă cu aceleași metode ca ecuațiile. După substituția t=ax rezolvi inecuația în t, păstrezi doar partea cu t>0 și abia apoi revii la x, cu regula semnului din tabel. O inegalitate ax>c cu este adevărată pentru orice iar cu nu are soluții.
Cum scrii răspunsul
Începi cu DVA. La sfârșit intersectezi soluțiile cu DVA și scrii mulțimea S: în acolade la ecuații, ca interval sau reuniune de intervale la inecuații.
