Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Ecuații. Inecuații. Sisteme și totalități

Ecuații și inecuații logaritmice: DVA, tipuri, semnul inecuației

Ecuațiile și inecuațiile logaritmice din programa de BAC, profilul real: DVA, cele cinci tipuri cerute și rolul bazei. Aici ai metodele din manualul de clasa a X-a, proprietățile de care ai nevoie și greșelile care costă puncte.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

X.5. Ecuații. Inecuații. Sisteme şi totalități - Ecuații logaritmice de tipul: 1. log_a f(x) = b; 2. log_a f(x) = log_a g(x); 3. log_a f(x) ± log_a g(x) = log_a h(x), a > 0, a ≠ 1, unde f, g și h – funcții de tipurile studiate; 4. ecuații logaritmice reductibile la ecuații algebrice studiate; 5. ecuații logaritmice de tipul 1-4 cu modul. - Inecuații logaritmice de tipul: 1. log_a f(x) < b; 2. log_a f(x) < log_a g(x); 3. log_a f(x) ± log_a g(x) < log_a h(x), unde f, g și h – funcții de tipurile studiate, a > 0, a ≠ 1; 4. inecuații logaritmice reductibile la inecuații algebrice studiate; 5. inecuații logaritmice de tipul log_(mx+n) a < b; a > 0, |b| ∈ {1,2}, m, n ∈ ℝ.

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Tema face parte din programa de bacalaureat a profilului real. La ecuații programa numește cinci tipuri: $lo g_{a} f (x) = b$ ; $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ ; sume și diferențe de logaritmi egale cu $lo g_{a} h (x)$ ; ecuații care se reduc la ecuații algebrice; aceleași tipuri cu modul. Lista inecuațiilor este paralelă, iar al cincilea tip are baza variabilă: $lo g_{m x + n} a < b$ , cu $a > 0$ și $∣ b ∣ \in {1; 2}$ . Tema se învață în clasa a X-a: în manual este modulul 7, §5, cu exerciții pentru profilul real, iar curriculumul clasei a X-a admite la ecuațiile de tipul 3 și o bază de forma $m x + n$ .

Ce este o ecuație logaritmică
Este o ecuație în care necunoscuta apare sub logaritm, în baza lui sau în ambele locuri; o inecuație logaritmică se recunoaște după același semn. Două notații scurte apar des: $l g c = lo g_{10} c$ , logaritmul zecimal, și $ln c = lo g_{e} c$ , logaritmul natural.

Primul pas: DVA
$lo g_{a} c = b$ înseamnă $a^{b} = c$ , iar expresia are sens numai când $c > 0$ , $a > 0$ și De aceea orice rezolvare începe cu domeniul valorilor admisibile: fiecare expresie de sub logaritm trebuie să fie pozitivă, iar dacă necunoscuta stă în bază, baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. La final păstrezi numai soluțiile care cad în DVA.

Ecuațiile, tip cu tip

1) $lo g_{a} f (x) = b$ . Din definiție, $f (x) = a^{b}$ . Condiția $f (x) > 0$ rezultă de la sine, fiindcă o putere a unui număr pozitiv este pozitivă, dar manualul o scrie oricum în sistem, și așa faci și tu: la BAC DVA se notează separat. Invers, orice număr se scrie ca logaritm, ceea ce ajută la inecuații.

Mai ai două unelte. Formula de schimbare a bazei, $lo g_{a} x = \frac{lo g _{c} x}{lo g _{c} a}$ , cu cazul aduce logaritmii la aceeași bază. Iar când un membru este strict crescător și celălalt strict descrescător pe DVA, ecuația are cel mult o soluție, pe care o poți găsi prin probe.

Proprietățile de lucru, pentru $x > 0$ , $y > 0$ :

Ce transformi	Formula
logaritmul unui produs	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
logaritmul unui cât

Inecuațiile: baza decide semnul
$lo g_{a} x$ crește strict pentru $a > 1$ și descrește strict pentru $0 < a < 1$ . Din asta vine regula pentru $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x)$ :

$a > 1$ : $g (x) > 0$ și $f (x) > g (x)$ , semnul se păstrează;
$0 < a < 1$ : $f (x) > 0$ și semnul se schimbă.

Condiția de pozitivitate se pune pe expresia care trebuie să rămână mai mică. Pentru $lo g_{a} f (x) < b$ : dacă $a > 1$ , atunci $0 < f (x) < a^{b}$ ; dacă atunci Sumele și diferențele de logaritmi se aduc la unul dintre aceste tipuri, cu DVA luat din inecuația inițială; la fel și cu semnul Dacă necunoscuta apare doar prin rezolvi întâi inecuația algebrică în apoi treci la Iar un modul rămas după ce scapi de logaritm se tratează ca la inecuațiile cu modul: este echivalentă, în DVA, cu

Baza variabilă
Inecuația $lo g_{m x + n} a < b$ , cu $a > 0$ , se desface în două sisteme: $0 < m x + n < 1$ și sau și Rezolvi fiecare sistem și reunești rezultatele.

Ecuații și inecuații logaritmice: DVA, tipuri, semnul inecuației

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină