Что требует программа
Тема входит в программу BAC реального профиля, раздел X.5. Программа называет пять типов показательных уравнений:
- 1)af(x)=ag(x);
- 2)уравнения, которые сводятся к уже изученным алгебраическим;
- 3)уравнения типов 1–2 с параметром;
- 4)уравнения вида n⋅a2x+m⋅axbx+p⋅b2x=0;
- 5)уравнения типов 1–3 с модулем.
Из неравенств — два типа: af(x)<ag(x) (знак может быть и >, ≤, ≥) и неравенства, которые сводятся к алгебраическим.
Что такое показательное уравнение
Неизвестное стоит в показателе степени, а основание — положительная постоянная, не равная 1. Основание 1 исключают: 1x=1 при любом x, так что такая степень не ведёт себя как показательная функция. Показательное неравенство определяется так же.
Что берёшь из показательной функции
Для f(x)=ax, где a>0 и a=1:
- она определена на всём R и сама ограничений не добавляет: ОДЗ задают остальные выражения уравнения (корень, дробь, логарифм), в показателе или вне его;
- она принимает только положительные значения, множество значений — (0;+∞); поэтому уравнение ax=b при b≤0 решений не имеет;
- её график проходит через точку (0;1), так как a0=1;
Свойства степеней
Чтобы привести обе части к одному основанию, пользуешься свойствами степеней; при положительных основаниях они верны для любого действительного показателя:
| Свойство | Формула |
|---|
| произведение | ax⋅ay=ax+y |
| частное | ayax=ax−y |
Так, например, 16x=24x, (31)x=3−x и
Уравнение af(x)=ag(x)
При a>0, a=1 оно равносильно уравнению Приравнивать показатели можно только после того, как основания стали одинаковыми. Если в показателях есть модуль, получается уравнение с модулем, и его решают по своим правилам. Уравнение при имеет единственное решение когда не записывается как степень с известным показателем, ответ так и остаётся с логарифмом.
Методы для уравнений, сводящихся к алгебраическим
- 1)Вспомогательное неизвестное. Если есть ax и a2x, обозначаешь ax=t, где t>0, решаешь уравнение относительно t и оставляешь только положительные корни.
В уравнениях с параметром помни: ax принимает все положительные значения и только их, поэтому уравнение ax=c имеет решение ровно тогда, когда c>0.
Неравенства
| Основание | af(x)<ag(x) равносильно |
|---|
| a>1 | f(x)<g(x): знак сохраняется |
Неравенства, сводящиеся к алгебраическим, решают теми же методами, что и уравнения. После замены t=ax решаешь неравенство относительно t, оставляешь только часть с t>0 и лишь потом возвращаешься к x по правилу знака из таблицы. Неравенство ax>c при верно при любом а при решений не имеет.
Как записать ответ
Начинаешь с ОДЗ. В конце пересекаешь решения с ОДЗ и записываешь множество S: в фигурных скобках для уравнения, промежутком или объединением промежутков для неравенства.
