Математика, BAC · Реальный профиль · Алгебра · Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности
Иррациональные уравнения и неравенства: системы, реальный профиль
Иррациональные уравнения и неравенства из программы BAC по математике, реальный профиль: ОДЗ, возведение в степень, посторонние корни, системы. Здесь типы из программы и правила из учебника X класса.
X.5. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности
- Иррациональные уравнения типа: ⁿ√f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, n ∈ {2,3}; √f(x) ± √g(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, √f(x) ± √g(x) = √h(x), a, b ∈ ℝ, g(x) · √f(x) = 0, где f,g и h – функции изученных типов.
- Иррациональные неравенства типа: √f(x) < g(x); g(x) · √f(x) < 0, где f и g – функции изученных типов (знак „<” может быть заменен на „>”, „≥”, „≤”).
Что требует программа Тема входит в программу BAC реального профиля, раздел X.5. Программа называет четыре типа иррациональных уравнений:
1)nf(x)=ax+b, где n∈{2;3};
2)f(x)±g(x)=ax+b;
3)f(x)±g(x)=h(x);
4)g(x)⋅f(x)=0.
Неравенств — два типа: f(x)<g(x) и g(x)⋅f(x)<0, причём знак может быть заменён на или
Что такое иррациональное уравнение Уравнение иррационально, если неизвестное находится под радикалом или возводится в степень с дробным показателем. x+1=3 и x23=8 — иррациональные уравнения; — нет: корень здесь только в коэффициенте. Иррациональное неравенство определяется так же и решается теми же приёмами.
Корень нечётной и чётной степени Корень нечётной степени определён при любом действительном значении подкоренного выражения и отрицателен, когда оно отрицательно, поэтому уравнение с ним решается без дополнительных условий. Корень чётной степени отрицательных значений не принимает, и теорема из учебника требует условия на знак правой части:
Уравнение
Равносильно
2nf(x)=g(x)
f(x)=g2n(x) и
Условия f(x)≥0 в системе из теоремы нет: оно само следует из f(x)=g2n(x).
Откуда берутся посторонние корни Возведение обеих частей в чётную степень не всегда сохраняет равносильность. Уравнения f(x)=g(x) и f(x)=−g(x) имеют одну ОДЗ, поэтому значение, найденное возведением в чётную степень, может не удовлетворять исходному уравнению, даже если лежит в ОДЗ. Значение вне ОДЗ — заведомо постороннее. Посторонние корни появляются и после некоторых подстановок. Есть два пути:
проверить каждое значение подстановкой в исходное уравнение; проверка обязательна, если хотя бы один шаг не был равносильным на ОДЗ;
сразу перейти к равносильной системе без радикалов, в которую входят и условия; тогда проверка не обязательна.
Если найти ОДЗ или решить условие g(x)≥0 сложнее, чем само уравнение, можно их не решать, а только проверить, выполняются ли условия для найденных значений. Бывает и наоборот: ОДЗ завершает решение — если система условий решений не имеет, их нет и у уравнения.
Уравнения с двумя радикалами Записываешь ОДЗ, уединяешь один радикал и возводишь в квадрат с удвоенным произведением: (a+b)2=a2+2ab+b2. Остаётся один радикал; уединяешь его и возводишь ещё раз. Эти шаги не равносильны, поэтому в конце проверяешь значения в исходном уравнении. Из специальных методов учебника умножение на сопряжённое выражение применяется, как правило, к f(x)±g(x)=h(x); отдельно учебник даёт метод двух вспомогательных неизвестных для уравнений с двумя радикалами.
Произведение, равное нулю f(x)⋅g(x)=0 на ОДЗ равносильно системе: g(x)≥0 и при этом f(x)=0 или Нуль входит в ответ, если в нём определена нуль входит, только если в нём корень существует. Короче: каждое значение должно лежать в ОДЗ всего уравнения.
Вспомогательное неизвестное Если одно и то же выражение стоит и под корнем, и вне его, обозначаешь корень через t,t≥0, и получаешь уравнение без радикалов. Отрицательные значения t отбрасываешь и возвращаешься к x.
Неравенства Работаешь равносильными преобразованиями. Нечётная степень сохраняет знак неравенства; чётная — заведомо там, где обе части неотрицательны.
Неравенство
Равносильно
f<g
g>0,f≥0,
При > и ≥ первая система отвечает за случай отрицательной правой части: там неравенство верно везде, где корень существует, и кто её пропускает, теряет целый промежуток. Если справа отрицательное число, всё сводится к ОДЗ: x−1>−3 означает x≥1, а решений не имеет. Неравенство-произведение с другими знаками решается так же, как с
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Урок для X класса (учитель Евгения Лунгу, 2021): определение, проверка решения, простейшие уравнения с корнем чётной и нечётной степени, произведение с корнем, равное нулю (примерно с 10-й минуты), f=g,f=g через равносильную систему и с 24-й минуты уравнения с двумя радикалами.
О чём: Урок для X класса (учитель Евгения Лунгу, 2021): простейшие неравенства с корнем и числом, неравенство-произведение с корнем (примерно с 10-й минуты), f<g, затем f<g и f>g с двумя случаями.
О чём: Урок подготовки к BAC для школ с русским языком обучения (2020). Фрагмент примерно с 5-й по 19-ю минуту: условия для корня чётной степени, иррациональные уравнения через равносильную систему, произведение с корнем, равное нулю, и неравенства f≤g и f>g. Дальше в уроке показательные уравнения.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
12 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
