Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Elemente de trigonometrie
Cercul trigonometric și funcțiile sin, cos, tg, ctg: proprietăți, grafice
Cercul trigonometric, gradele și radianii, funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă din programa de BAC, profilul real. Aici ai definițiile, valorile uzuale, semnele pe cadrane, proprietățile și graficele.
X.6. Elemente de trigonometrie
- Cercul trigonometric. Transformarea unităților de măsură ale unghiurilor din grade în radiani și invers.
- Funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.
- Graficul funcției trigonometrice sinus, cosinus, tangentă, cotangentă. Proprietăți.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema deschide capitolul de trigonometrie din programa de BAC a profilului real, unde matematica este disciplină obligatorie. Se cer aici cercul trigonometric, trecerea unghiurilor din grade în radiani și invers, cele patru funcții trigonometrice, graficele lor și proprietățile citite de pe grafic sau din formulă.
Grade și radiani Unghiurile se măsoară în grade sau în radiani. Gradul este a 90-a parte din unghiul drept, cu 1∘=60′ și 1′=60′′. Măsura în radiani a unui unghi la centru este raportul dintre arcul pe care îl cuprinde și rază, α=rl, deci un radian cuprinde un arc egal cu raza. Unghiul complet are 2π rad, cel alungit π rad, cel drept 2π rad, unde π≈3,14.
Din αa=π180∘, cu a în grade și α în radiani, rezultă:
din grade în radiani: α=180∘a⋅π, de exemplu 45∘=4π;
Măsura în radiani a unui unghi este un număr real, de aceea funcțiile trigonometrice sunt definite pe numere reale: sinx este sinusul unghiului de x radiani. Gradele se scriu cu semnul lor, ca în cos9∘, iar sin2 este sinusul numărului real 2, adică al unghiului de 2 rad.
Cercul trigonometric Unghiul orientat se obține rotind o semidreaptă în jurul originii: invers acelor de ceasornic este sensul pozitiv, în sensul acelor este cel negativ. Încă n rotații complete aduc semidreapta în aceeași poziție, deci α și α±2πn au același punct pe cerc: 90∘,450∘ și −270∘ se scriu toate ca Cercul trigonometric are raza și centrul în originea axelor. Unghiul aparține cadranului în care se află punctul în care latura lui mobilă taie cercul.
Definițiile Fie M(x;y) punctul cercului care corespunde unghiului α:
sinα=y, ordonata lui M, și cosα=x, abscisa lui M;
tgα=cosαsinα, numai pentru
Pentru un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic definițiile dau rapoartele de laturi: sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul cateta alăturată supra ipotenuză.
Valori de reținut
sin6π=21,sin4π=22, cosinusul trece prin aceleași valori în ordine inversă, de la la
Proprietățile celor patru funcții
sinx
cosx
tgx
ctgx
Domeniul
R
R
x=2π+πk
O funcție periodică se studiază pe un singur interval de lungimea perioadei, iar graficul de acolo se repetă la dreapta și la stânga. Graficul sinusului trece prin origine, al cosinusului taie axa Oy în (0;1). Ambele grafice sunt unde care oscilează între −1 și 1. Graficul tangentei e format din ramuri crescătoare, câte una pe fiecare interval (−2π+πk;2π+πk), despărțite de dreptele în care tangenta nu e definită; cotangenta are ramuri descrescătoare, despărțite de dreptele
Monotonie și extreme
sinx crește strict pe [−2π+2πk;2π+2πk] și descrește strict pe maximul e atins în minimul în
Cum lucrezi cu ele
Semnul unei expresii: afli cadranul fiecărui unghi și citești semnul din tabel; de pildă 34π e în cadranul III, unde cosinusul e negativ.
Comparația a două valori: pe un interval de monotonie ordinea unghiurilor dă ordinea valorilor; cosinusul descrește pe [0∘;180∘], deci cos9∘>cos10∘.
Desene și scheme
Cercul trigonometric: unghiurile uzuale în radiani și semnele funcțiilor pe cadrane. Pentru punctul M al unghiului α, abscisa este cos α, iar ordonata este sin α.
Sinusul și cosinusul iau valori între −1 și 1, iar graficul lor se repetă cu perioada 2π. Graficul sinusului trece prin origine, al cosinusului taie axa Oy în (0; 1).
Tangenta și cotangenta se repetă cu perioada π. Tangenta crește pe fiecare interval dintre două drepte x = π/2 + πk, în care nu este definită; cotangenta descrește pe fiecare interval dintre două drepte x = πk.
Ce acoperă: Gradul și radianul, trecerea dintr-o unitate în alta, unghiurile orientate, cercul trigonometric și definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, apoi tabelul valorilor uzuale și exerciții din manual. Partea despre identitățile fundamentale (minutele 13–16) ține de tema următoare.
Ce acoperă: Proprietățile și graficele celor patru funcții, pe rând: sinus, cosinus (de la minutul 9), tangentă (de la minutul 16) și cotangentă (de la minutul 22) — domeniu, valori, zerouri, perioadă, semn, paritate, monotonie, extreme.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
din radiani în grade: a=πα⋅180∘, de exemplu 1 rad ≈57∘17′44′′ (cu π≈3,1416).
2π+2πn.
1
M
α=2π+πk;
ctgα=sinαcosα, numai pentru α=πk,k∈Z.
sin3π=23,
sin2π=1;
cos0=1
cos2π=0.
tg6π=33,tg4π=1,tg3π=3;tg2π și ctg0 nu există.
În afara primului cadran, semnul vine din poziția punctului: cos43π=−22,sin(−3π)=−23.
x=πk
Valorile
[−1;1]
[−1;1]
R
R
Zerourile
πk
2π+πk
πk
2π+πk
Perioada principală
2π
2π
π
π
Paritatea
impară
pară
impară
impară
Pozitivă în cadranele
I, II
I, IV
I, III
I, III
x=2π+πk,
x=πk.
[2π+2πk;23π+2πk];
1
2π+2πk,
−1
23π+2πk.
cosx descrește strict pe [2πk;π+2πk] și crește strict pe [π+2πk;2π+2πk]; maximul 1 în 2πk, minimul −1 în π+2πk.
tgx crește strict pe fiecare interval (−2π+πk;2π+πk),ctgx descrește strict pe fiecare interval (πk;π+πk), și niciuna nu are extreme.
Mulțimea valorilor unei expresii cu sinx sau cosx: pornești de la −1≤sinx≤1 și faci aceleași operații în toți membrii inegalității; la înmulțirea cu un număr negativ sensul inegalităților se schimbă.
