Математика, BAC · Реальный профиль · Алгебра · Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности

Логарифмические уравнения и неравенства: ОДЗ, виды, знак неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства из программы БАК для реального профиля: ОДЗ, пять требуемых видов и роль основания в неравенствах. Здесь методы из учебника 10 класса, нужные свойства логарифмов и ошибки, которые стоят баллов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

X.5. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности - Логарифмические уравнения типа: 1. log_a f(x) = b; 2. log_a f(x) = log_a g(x); 3. log_a f(x) ± log_a g(x) = log_a h(x), a > 0, a ≠ 1, где f, g и h – функции изученных типов; 4. логарифмические уравнения, приводимые к изученным алгебраическим уравнениям; 5. логарифмические уравнения типа 1-4 с модулем - Логарифмические неравенства типа: 1. log_a f(x) < b; 2. log_a f(x) < log_a g(x); 3. log_a f(x) ± log_a g(x) < log_a h(x), где f, g и h – функции изученных типов, a > 0, a ≠ 1; 4. логарифмические неравенства, приводимые к изученным алгебраическим неравенствам; 5. логарифмические неравенства типа log_(mx+n) a < b; a > 0, |b| ∈ {1,2}, m, n ∈ ℝ.

Что нужно знать

Что требует программа
Тема входит в программу бакалавриата для реального профиля. Уравнений программа называет пять видов: $lo g_{a} f (x) = b$ ; $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ ; суммы и разности логарифмов, равные $lo g_{a} h (x)$ ; уравнения, приводимые к алгебраическим; те же виды с модулем. Список неравенств устроен так же, но пятый вид — с переменным основанием: $lo g_{m x + n} a < b$ , где $a > 0$ и $∣ b ∣ \in {1; 2}$ . Тему проходят в 10 классе: в учебнике это модуль 7, §5, с упражнениями для реального профиля, а куррикулум 10 класса допускает в уравнениях вида 3 и основание вида $m x + n$ .

Что такое логарифмическое уравнение
Это уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком логарифма, в его основании или там и там; логарифмическое неравенство узнаётся по тому же признаку. Часто встречаются два коротких обозначения: $l g c = lo g_{10} c$ — десятичный логарифм и $ln c = lo g_{e} c$ — натуральный.

Первый шаг: ОДЗ
$lo g_{a} c = b$ означает $a^{b} = c$ , и выражение имеет смысл только при $c > 0$ , $a > 0$ , Поэтому любое решение начинается с области допустимых значений: каждое выражение под логарифмом положительно, а если неизвестное стоит в основании, основание положительно и не равно 1. В конце оставляешь только решения, попавшие в ОДЗ.

Уравнения по видам

1) $lo g_{a} f (x) = b$ . По определению $f (x) = a^{b}$ . Условие $f (x) > 0$ выполняется само, потому что степень положительного числа положительна, но учебник всё равно пишет его в системе, и ты пиши: на экзамене за ОДЗ дают отдельные баллы. И наоборот, любое число записывается как логарифм, это пригодится в неравенствах.

Есть ещё два инструмента. Формула перехода к другому основанию, $lo g_{a} x = \frac{lo g _{c} x}{lo g _{c} a}$ , и её частный случай приводят логарифмы к одному основанию. А если одна часть уравнения строго возрастает на ОДЗ, а другая строго убывает, решение не больше одного, и его можно найти подбором.

Рабочие свойства, для $x > 0$ , $y > 0$ :

Что преобразуешь	Формула
логарифм произведения	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
логарифм частного

Неравенства: знак решает основание
$lo g_{a} x$ строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$ . Отсюда правило для $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x)$ :

$a > 1$ : $g (x) > 0$ и $f (x) > g (x)$ , знак сохраняется;
$0 < a < 1$ : $f (x) > 0$ и знак меняется.

Условие положительности ставят на то выражение, которое должно остаться меньшим. Для $lo g_{a} f (x) < b$ : при $a > 1$ получаем $0 < f (x) < a^{b}$ , при — Суммы и разности логарифмов сводят к одному из этих видов, с ОДЗ исходного неравенства; так же решают и неравенства со знаком Если неизвестное входит только через сначала решаешь алгебраическое неравенство относительно потом переходишь к А модуль, оставшийся после того, как логарифм снят, раскрывают как в неравенствах с модулем: на ОДЗ равносильно

Переменное основание
Неравенство $lo g_{m x + n} a < b$ , где $a > 0$ , распадается на две системы: $0 < m x + n < 1$ и или и Решаешь каждую и объединяешь ответы.

Логарифмические уравнения и неравенства: ОДЗ, виды, знак неравенства

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу