Ce cere programa
Tema este în programa de BAC a profilului real, unde matematica este disciplină obligatorie. Programa cere aici noțiunile arcsin, arccos, arctg, arcctg, proprietățile lor pentru argumentul opus, valorile lor pentru numerele uzuale și patru tipuri de ecuații: fundamentale, reductibile la ecuații algebrice de gradul I sau II, omogene de gradul I sau II și de forma asinx+bcosx=c.
Funcțiile trigonometrice inverse
Funcțiile trigonometrice nu sunt inversabile pe tot domeniul, așa că inversele lor se definesc pe câte un interval pe care funcția este inversabilă. Pentru a∈[−1;1], arcsina este numărul y∈[−2π;2π] pentru care iar este numărul pentru care
| Funcția | Definită pe | Valorile ei |
|---|
| arcsin | [−1;1] | [−2π;2π] |
De exemplu, arcsin21=6π, fiindcă 6π se află în intervalul valorilor și Valorile uzuale le citești din tabelul funcțiilor sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, schimbând rolurile argumentului și ale valorii:
Pentru argumentul opus, arcsin(−a)=−arcsina și arctg(−a)=−arctga, dar arccos(−a)=π−arccosa și arcctg(−a)=π−arcctga. Așa obții nu un număr negativ.
Ecuațiile fundamentale
O ecuație este trigonometrică dacă necunoscuta apare numai în argumentul funcțiilor trigonometrice. Ecuațiile sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, cu a∈R, se numesc fundamentale. Soluțiile ecuației sunt măsuri de unghiuri, în radiani sau în grade, iar soluțiile ecuației sunt tot măsuri de unghiuri. Mai jos
| Ecuația | Are soluții pentru | Toate soluțiile |
|---|
| sinx=a | ∣a∣≤1 | x=(−1)karcsina+πk |
| cosx=a |
Pentru ∣a∣≤1, ecuațiile cu sinus și cosinus au o infinitate de soluții, iar pentru ∣a∣>1 nu au niciuna. Cazurile particulare au forme mai simple: sinx=0⟺x=πk, sinx=1⟺x=2π+2πk, Tangenta cere iar cotangenta acesta este DVA-ul lor.
Ecuații reductibile la ecuații algebrice
Când necunoscuta apare sub o singură funcție trigonometrică, notezi acea funcție cu t, rezolvi ecuația algebrică în t și revii la x. Ca să ajungi la o singură funcție, folosești cos2x=1−sin2x sau formulele unghiului dublu, sin2x=2sinxcosx și Pentru sau păstrezi doar valorile cu
Ecuații omogene
Ecuația omogenă de gradul n în sinx și cosx are forma ansinnx+an−1sinn−1xcosx+⋯+a0cosnx=0; la gradul II, Dacă nu este factor comun, împarți ambii membri la și obții o ecuație în Împărțirea nu pierde soluții, fiindcă sinusul și cosinusul nu se anulează simultan. Dacă este factor comun, descompui întâi în factori: împărțind la ai pierde soluțiile ecuației Un număr din membrul drept îl scrii cu ajutorul lui ca ecuația să devină omogenă.
Ecuația asinx+bcosx=c
Are soluții dacă și numai dacă a2+b2≥c2. Metoda unghiului auxiliar o scrie ca unde și Pentru ai și ecuația fundamentală Manualul arată încă două căi: omogenizarea, care trece la unghiul și sistemul cu și
Selectarea soluțiilor
Când se cer soluțiile dintr-un interval, iei fiecare serie de soluții, scrii condiția intervalului ca dublă inegalitate pentru k întreg și păstrezi doar valorile găsite. La seria cu (−1)k tratezi separat cazurile k par și k impar. Răspunsul este atunci mulțimea acestor valori, nu formula generală.
