Numere complexe: forma algebrică, forma trigonometrică, ecuații
Numerele complexe, tema XI.4 a programei de bacalaureat la matematică pentru profilul real. Aici ai forma algebrică, modulul, forma trigonometrică cu formula lui Moivre și ecuațiile de gradul II și bipătratice în ℂ.
XI.4. Numere complexe
- Noțiunea de număr complex. Mulțimea ℂ. Forma algebrică a numărului complex.
- Operații aritmetice cu numere complexe scrise în formă algebrică.
- Modulul unui număr complex.
- Forma trigonometrică a numărului complex.
- Operații cu numere complexe scrise în formă trigonometrică (înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent natural).
- Ecuații de gradul II, ecuații bipătratice în mulțimea ℂ.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema XI.4 este din programa profilului real și cuprinde: forma algebrică și operațiile cu ea, modulul, forma trigonometrică, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere în formă trigonometrică, ecuațiile de gradul II și ecuațiile bipătratice în C. Programa profilului umanist are o unitate mai scurtă, XI.2: forma algebrică, modulul și ecuațiile de gradul II cu coeficienți reali, fără forma trigonometrică și fără ecuații bipătratice.
Forma algebrică Un număr complex se scrie z=a+bi, cu a,b∈R și i2=−1; mulțimea lor este C, iar N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
a=Rez este partea reală, b=Imz este partea imaginară. Partea imaginară este numărul real b, nu bi.
a+0i este numărul real a;0+bi cu este un număr pur imaginar.
Operații în formă algebrică Aduni și scazi separat părțile reale și cele imaginare. Înmulțești ca pe două polinoame în i și înlocuiești i2 cu −1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.Formulele de calcul prescurtat rămân valabile. Puterile lui se repetă din patru în patru: La un exponent mare scoți multiplii lui 4:
Conjugatul și împărțirea Conjugatul lui z=a+bi este zˉ=a−bi, iar z⋅zˉ=a2+b2 este un număr real nenegativ. Pe asta se sprijină împărțirea: amplifici fracția cu conjugatul numitorului.Conjugatul unei sume este suma conjugatelor, conjugatul unui produs este produsul conjugatelor, iar exact atunci când este real.
Modulul ∣a+bi∣=a2+b2. Numărul z=x+iy se reprezintă prin punctul al planului complex, iar este lungimea lui Proprietăți folosite des: Modulul diferenței este distanța dintre punctele care reprezintă cele două numere.
Forma trigonometrică Pentru z=a+bi=0, cu r=∣z∣ și un argument φ (unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vectorul OM), avem și
Argumentele unui număr diferă între ele prin 2kπ; cel din intervalul (−π;π] este argumentul principal, argz. Numărul 0 nu are argument.
argz=arccosra dacă și dacă
Operații în formă trigonometrică Forma trigonometrică face ușoare înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere:
Operația
Modulul
Argumentul
z1z2
r1r2
φ1+φ2
Argumentul obținut astfel poate ieși din intervalul (−π;π], deci la o putere mare îl readuci acolo adunând sau scăzând multipli de 2π. Pentru sume și diferențe rămâi la forma algebrică.
Ecuații de gradul II în ℂ Formula z1,2=2a−b±b2−4ac rămâne valabilă în chiar și cu coeficienți complecși: aici o ecuație de gradul II nu rămâne niciodată fără soluții.
Coeficienți reali și Δ<0: scrii Δ ca pătratul unui număr pur imaginar. La z2−2z+3=0,Δ=−8=(22i)2 și soluțiile diferă doar prin semnul părții imaginare.
Ecuații bipătratice Ecuația mz4+pz2+q=0,m=0, se rezolvă prin substituția z2=u: rezolvi apoi pentru fiecare valoare găsită. Fiecare dă două valori opuse ale lui La obții și deci
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Forma algebrică: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea prin amplificare cu conjugatul, proprietățile conjugatului și puterile lui i, cu exerciții rezolvate.
Ce acoperă: Forma trigonometrică: modulul și argumentul, argumentul principal, alegerea unghiului după cadran și trecerea din forma algebrică în cea trigonometrică.
Ce acoperă: Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere în formă trigonometrică, formula lui Moivre, cu exerciții în care rezultatul se scrie apoi în formă algebrică.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
20 de cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Manual · Ion Achiri, Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2020 · modulul 6, p. 164–168, 170–173, 176, 178 · în română
ctice.md:1443 · accesat la 3 octombrie 2026
Cine răspunde de pagină
Textul a fost pregătit cu ajutorul AI. Fiecare fapt din el a fost verificat de trei ori cu sursele de mai sus. Un profesor nu l-a citit încă.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
b=0
a+bi=c+di exact atunci când a=c și b=d. De aceea o egalitate în C cu necunoscute reale se desface în două ecuații reale: una pentru părțile reale, una pentru cele imaginare.
Două forme trigonometrice sunt egale exact când modulele sunt egale și argumentele diferă prin 2kπ.
Exemple: 1+i=2(cos4π+isin4π) și −1=cosπ+isinπ.
z2z1
r2r1
φ1−φ2
zn, formula lui Moivre
rn
nφ
C,
z1,2=1±i2:
Δ complex: îți trebuie rădăcinile lui de ordinul doi, care sunt două numere opuse. La z2−3z+3−i=0,Δ=−3+4i, rădăcinile lui sunt 1+2i și −1−2i, iar S={2+i;1−i}. Rădăcina o afli cu formula din manual sau scriind (x+yi)2=Δ și egalând părțile.
