Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Elemente de trigonometrie

Formule trigonometrice: identități, reducere, suma, unghiul dublu

Formulele trigonometrice din programa de BAC la profilul real: identitățile fundamentale, reducerea, suma și unghiul dublu. Aici le ai pe toate, cu condițiile lor, regula semnului și substituția universală.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

X.6. Elemente de trigonometrie - Identitățile trigonometrice fundamentale. - Formulele de reducere. - Formulele sumei. - Formulele unghiului dublu. - Formulele substituției universale. - Calculul valorilor funcțiilor trigonometrice ale măsurilor unghiurilor uzuale.

Programa de examen, PDF, pagina 10

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Tema este în programa de BAC a profilului real, unde matematica este disciplină obligatorie. La „Elemente de trigonometrie” programa cere identitățile trigonometrice fundamentale, formulele de reducere, formulele sumei, formulele unghiului dublu, formulele substituției universale și valorile funcțiilor pentru unghiurile uzuale. Cere și să alegi formula potrivită, ca drumul de calcul să fie scurt.

Identitățile fundamentale

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , pentru orice $α \in R$ ;
$tg α \cdot ctg α = 1$ , pentru $α \neq = \frac{π}{2} k$ , $k \in Z$ ;
$1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ , pentru $α \neq = \frac{π}{2} + π k$ , și pentru

Le leagă definiția tangentei: $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ , deci tangenta există numai acolo unde $cos α \neq = 0$ . Când știi o singură funcție a unghiului, din aceste egalități le afli pe toate celelalte.

Semnul îl dă cadranul
Din $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ obții pătratul funcției căutate, adică două valori opuse. Pe cea bună o alegi după cadranul în care se află unghiul:

Funcția	pozitivă în cadranele	negativă în cadranele
$sin$	I, II	III, IV
$cos$	I, IV	II, III
$tg$ , $ctg$	I, III	II, IV

Pentru unghiurile negative ține minte paritatea: cosinusul este funcție pară, $cos (- α) = cos α$ , iar sinusul este impar, $sin (- α) = - sin α$ .

Valorile uzuale
Programa cere valorile tuturor celor patru funcții. Pentru unghiurile de bază, din tabelul manualului:

$α$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$

Valorile pentru unghiurile obtuze și negative din tabel, de exemplu $\frac{2 π}{3}$ sau $- \frac{π}{4}$ , se obțin din acestea cu formulele de reducere și paritatea.

Formulele sumei
În manual ele apar ca formule pentru funcțiile trigonometrice ale sumei și diferenței de unghiuri:

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ și $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ ;

Cu ele afli valori pentru unghiuri care lipsesc din tabel. De exemplu, $\frac{7 π}{12} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$ , de unde

Formulele de reducere
Orice unghi se scrie $β = \frac{π}{2} k \pm α$ , cu $0 \leq α < \frac{π}{2}$ , așa că valoarea funcției lui se reduce la una a lui în doi pași:

1)pentru $k$ par funcția rămâne aceeași, pentru $k$ impar trece în cofuncție: $sin$ și $cos$ sunt cofuncții una alteia, la fel $tg$ și $ctg$ ;
2)semnul este al funcției inițiale în cadranul unghiului $\frac{π}{2} k \pm α$ , socotind ascuțit, oricare i-ar fi măsura.

Astfel $sin (π + α) = - sin α$ , $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$ , În grade se lucrează la fel: este impar, unghiul este în cadranul IV, deci

Formulele unghiului dublu

$sin 2 α = 2 sin α cos α$ ;
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α$ ;

Citite de la dreapta la stânga, formele lui $cos 2 α$ micșorează puterea: $cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}$ și $sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ . Pentru jumătatea unui unghi pui în locul lui cum face manualul la

Substituția universală
Cu $t = tg \frac{α}{2}$ avem $sin α = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ și pentru iar unde se cere în plus Toate funcțiile unghiului devin expresii într-o singură mărime, Unghiurile unde nu există, rămân în afara acestor formule.

Cum alegi formula
Pornește de la ce ți se dă și ce ți se cere. Se dă o funcție și se cere alta a aceluiași unghi: identitățile, apoi semnul din cadran. Argumentul este o sumă, o diferență sau conține un multiplu de $\frac{π}{2}$ : formulele sumei sau de reducere. Apare $2 α$ ori pătratul unui sinus sau cosinus: unghiul dublu și micșorarea puterii. Simplifică expresia întâi și abia la sfârșit înlocuiește valorile.

$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$
$ctg α$	nu există	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$

Formule trigonometrice: identități, reducere, suma, unghiul dublu

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină