Что требует программа
Тема входит в программу BAC по математике для реального профиля: там математика — обязательный экзамен. Программа требует понятия arcsin, arccos, arctg, arcctg, их свойства для противоположного аргумента, их значения для часто используемых чисел и четыре вида уравнений: простейшие, приводимые к алгебраическим уравнениям I или II степени, однородные I или II степени и уравнения вида asinx+bcosx=c.
Обратные тригонометрические функции
На всей области определения тригонометрические функции необратимы, поэтому обратные к ним строят на промежутках, где функция обратима. При a∈[−1;1] число arcsina — это такое y∈[−2π;2π], что а — такое что
| Функция | Определена на | Её значения |
|---|
| arcsin | [−1;1] | [−2π;2π] |
Например, arcsin21=6π: число 6π лежит в промежутке значений и Значения для часто используемых чисел берут из таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, поменяв местами аргумент и значение:
Для противоположного аргумента arcsin(−a)=−arcsina и arctg(−a)=−arctga, но arccos(−a)=π−arccosa и arcctg(−a)=π−arcctga. Поэтому а не отрицательное число.
Простейшие уравнения
Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное стоит под знаком тригонометрических функций. Уравнения sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, где a∈R, называются простейшими. Решения уравнения — величины углов, в радианах или в градусах, а решения уравнения — тоже величины углов. Ниже везде
| Уравнение | Есть решения при | Все решения |
|---|
| sinx=a | ∣a∣≤1 | x=(−1)karcsina+πk |
| cosx=a |
При ∣a∣≤1 у уравнений с синусом и косинусом бесконечно много решений, при ∣a∣>1 — ни одного. Частные случаи записывают проще: sinx=0⟺x=πk, sinx=1⟺x=2π+2πk, Для тангенса нужно для котангенса это их ОДЗ.
Уравнения, приводимые к алгебраическим
Если неизвестное стоит под знаком только одной тригонометрической функции, её обозначают через t, решают алгебраическое уравнение относительно t и возвращаются к x. Чтобы оставить одну функцию, пользуются равенством cos2x=1−sin2x или формулами двойного угла sin2x=2sinxcosx и Если или оставляют только значения с
Однородные уравнения
Однородное уравнение n-й степени относительно sinx и cosx имеет вид ansinnx+an−1sinn−1xcosx+⋯+a0cosnx=0; при это Если не является общим множителем, обе части делят на и получают уравнение относительно Решения при этом не теряются: синус и косинус не обращаются в нуль одновременно. Если же — общий множитель, сначала раскладывают на множители: деление на потеряло бы решения уравнения Число в правой части заменяют с помощью равенства чтобы уравнение стало однородным.
Уравнение asinx+bcosx=c
Оно имеет решения тогда и только тогда, когда a2+b2≥c2. Метод вспомогательного угла записывает его в виде где и Для получаем и простейшее уравнение В учебнике есть ещё два пути: сведение к однородному уравнению через угол и система где
Отбор решений
Если нужны решения из промежутка, для каждой серии решений записывают условие промежутка как двойное неравенство для целого k и оставляют только найденные значения. В серии с (−1)k отдельно рассматривают чётные и нечётные k. Ответ тогда — множество этих значений, а не общая формула.
