Математика, BAC · Реальный профиль · Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей и математической статистики · Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания

Элементы комбинаторики на бакалавриате, реальный профиль: факториал, правила сложения и умножения, перестановки, размещения и сочетания. Здесь формулы из учебника, уравнения с ОДЗ и выбор нужной формулы.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля раздел XII.3 программы бакалавриата включает по комбинаторике: понятия упорядоченного множества и факториала, основные законы (правила) комбинаторики, перестановки, размещения и сочетания (без повторений), свойства сочетаний, а также уравнения и неравенства с элементами комбинаторики. Бином Ньютона из того же раздела — отдельная тема.

Упорядоченное множество и факториал
В упорядоченном множестве важно не только, какие в нём элементы, но и в каком порядке они взяты. Его записывают в круглых скобках, а два упорядоченных множества равны, только если у них те же элементы в том же порядке: $(8,9,10)$ и $(8,10,9)$ различны.

Факториал числа $n$ — произведение $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$ . Принимают $0!=1$ , а при $n\ge1$ верно $n!=(n-1)!\cdot n$ . Этим равенством большой факториал записывают через меньший и сокращают дробь; в учебнике, например, $\dfrac{(n-1)!}{(n-2)!}=n-1$ и $\dfrac{(2n)!}{(2n-1)!}=2n$ .

Основные правила комбинаторики
В учебнике основных правил комбинаторики два:

правило умножения: число пар из элемента множества $A$ и элемента множества $B$ равно $\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\cdot\operatorname{card}B$ ; так же для $k$ множеств,

Ориентир самой страницы, а не цитата из учебника: выборы, которые делают все подряд, умножают; случаи, которые не могут произойти вместе, складывают.

Перестановки, размещения, сочетания
Все три относятся к множеству из $n$ элементов и не повторяют элементы:

Что считают	Обозначение	Формула
упорядочения всех $n$ элементов	$P_n$	$n!$
упорядоченные подмножества из $m$ элементов (порядок важен)	$A_n^m$

Формулы для $A_n^m$ и $C_n^m$ верны при $m,n\in\mathbb N$ , Частные случаи:

В размещениях порядок важен: $(1,2)$ и $(2,1)$ — два разных размещения. В сочетаниях он не важен: $\{1,2\}$ и $\{2,1\}$ — одно сочетание. Каждое сочетание из $m$ элементов даёт размещений, поэтому

Свойства сочетаний

$C_n^m=C_n^{n-m}$ при $0\le m\le n$ (взаимозаменяемые сочетания); например,

Уравнения и неравенства
В двух решённых примерах учебника порядок работы один:

1)Записывают область допустимых значений (ОДЗ): неизвестное — натуральное число, числа под факториалами не могут быть отрицательными (в уравнении учебника $n-1\ge0$ ), а в $C_{2n}^7$ верхнее число должно быть не меньше $7$ , то есть

В неравенстве $C_{2n}^7>C_{2n}^5$ учебник начинает с $n\ge3{,}5$ , и приходит к

Комбинаторика на экзамене
Задания экзамена, где нужна комбинаторика, — это задачи по вероятности. Классическая вероятность разбирается отдельно, в теме о вероятностях; здесь достаточно знать, что это отношение $\dfrac mn$ числа $m$ благоприятных исходов к числу $n$ всех равновозможных исходов, а комбинаторика считает $m$ и $n$ . Подсчёты с повторениями (например, бросков кости, исходов) тоже делают по правилу умножения для множеств; формулы остаются для случая без повторений.

Граница темы
Программа требует перестановки, размещения и сочетания без повторений; учебник называет такие задачи простейшими, без повторений элементов.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Clasa Viitorului · YouTube

О чём: Урок подготовки к бакалавриату на русском языке, содержание одобрено ANCE. Первые 46 минут — геометрия. С 46:50 до 58:30: когда в вероятностных задачах нужны размещения, сочетания и перестановки, правило умножения, задачи с шарами, цифровым кодом и супружескими парами. С 58:43 идут независимые события и вероятность «хотя бы одного» — это уже другая тема.

Канал: math lab · YouTube

О чём: Перестановки, сочетания и размещения на маленьких примерах и правила «и — умножают, или — складывают» (первые 8 минут), затем девять задач с таймкодами в описании: рассадка, выбор пар, числа из цифр, деление на группы, не менее трёх шестёрок в выборке из колоды, тома рядом как один блок. Обозначения $C_n^k$ и $A_n^k$ с буквой $k$ вместо $m$ ; уравнений с ОДЗ в видео нет.

Канал: TutorOnline - ОГЭ и ЕГЭ, уроки для школьников · YouTube

О чём: Короткий разбор, как отличать перестановки, размещения и сочетания, на примере шести книг: перестановки и $P_n=n!$ , размещения (порядок важен), сочетания (порядок не важен), три формулы с вычислением. Канал российский, обозначения $p_n$ , $a_n^k$ , $c_n^k$ ; правил сложения и умножения и уравнений в видео нет.

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу