Что требует программа
Тема входит в программу BAC для реального профиля, где математика — обязательный экзамен. В разделе «Элементы тригонометрии» программа называет основные тригонометрические тождества, формулы приведения, формулы суммы, формулы двойного угла, формулы универсальной подстановки и значения функций для часто используемых углов. Отдельно она требует подбирать формулу так, чтобы вычисление было коротким.
Основные тождества
- sin2α+cos2α=1 при любом α∈R;
- tgα⋅ctgα=1 при α=2πk, k∈Z;
- 1+tg2α=cos2α1 при α=2π+πk и при
Связывает их определение тангенса: tgα=cosαsinα, поэтому тангенс существует только там, где cosα=0. Зная одну функцию угла, по этим равенствам находишь остальные.
Знак определяет четверть
Из sin2α+cos2α=1 получается только квадрат нужной функции, то есть два противоположных значения. Верное выбираешь по четверти, в которой лежит угол:
| Функция | положительна в четвертях | отрицательна в четвертях |
|---|
| sin | I, II | III, IV |
| cos | I, IV | II, III |
| tg, ctg | I, III | II, IV |
Для отрицательных углов пригодится чётность: косинус — чётная функция, cos(−α)=cosα, а синус нечётный, sin(−α)=−sinα.
Значения для частых углов
Программа требует значения всех четырёх функций. Для основных углов, по таблице из учебника:
Значения для тупых и отрицательных углов таблицы, например 32π или −4π, получаются из этих по формулам приведения и чётности.
Формулы суммы
В учебнике они названы формулами сложения и вычитания:
- cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ и cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ;
С их помощью считают значения для углов, которых нет в таблице: 127π=3π+4π, откуда
Формулы приведения
Любой угол записывается как β=2πk±α, где 0≤α<2π, и значение функции от сводится к значению от в два шага:
- 1)при чётном k функция остаётся той же, при нечётном меняется на кофункцию: sin и cos — кофункции друг для друга, так же tg и ctg;
- 2)знак берётся от исходной функции в той четверти, где лежит угол 2πk±α, причём считается острым, какой бы ни была его величина.
Так получаются sin(π+α)=−sinα, sin(2π+α)=cosα, С градусами всё так же: нечётное, угол в IV четверти, значит
Формулы двойного угла
- sin2α=2sinαcosα;
- cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α;
Прочитанные справа налево, формы cos2α понижают степень: cos2α=21+cos2α и sin2α=21−cos2α. Для половины угла подставляешь вместо как в учебнике:
Универсальная подстановка
При t=tg2α имеем sinα=1+t22t и для а где нужно ещё Все функции угла превращаются в выражения от одной величины Углы при которых не существует, в эти формулы не попадают.
Как выбрать формулу
Смотри, что дано и что нужно найти. Дана одна функция, а нужна другая функция того же угла: тождества, затем знак по четверти. Аргумент — сумма, разность или содержит кратное 2π: формулы суммы или приведения. Встречается 2α или квадрат синуса либо косинуса: двойной угол и понижение степени. Сначала упрости выражение и только в конце подставляй значения.
