Ce cere programa
Unitatea X.3 din programa de BAC pentru profilul real începe cu monoamele și polinoamele: noțiunile, operațiile (adunare, scădere, înmulțire, ridicare la putere cu exponent natural), forma canonică și gradul, împărțirea cu rest, împărțirea la X−a cu teorema lui Bézout, descompunerea în factori ireductibili, rădăcinile și rădăcinile multiple. Fracțiile algebrice, cu DVA, sunt a doua parte a aceleiași unități. Printre exemplele de itemi din programă sunt restul împărțirii la X−2 când se cunoaște restul la X+1 și coeficienții unui polinom care admite rădăcina dublă X=1.
Monoame
Un monom este un produs de numere și litere ridicate la puteri naturale, de exemplu −5X2Y3. Numărul din față este coeficientul, restul este partea literală, iar literele se numesc nedeterminate. Gradul unui monom este suma tuturor exponenților: 3X3Y are gradul 4, dar în raport cu X are gradul 3. Monoamele cu aceeași parte literală sunt asemenea; le reduci adunând coeficienții: 2X2Y+3X2Y=5X2Y.
Polinoame de o nedeterminată
Suma mai multor monoame, ca și un singur monom, se numește polinom; cu doi termeni e binom, cu trei e trinom. Cu o singură nedeterminată îl scrii P(X)=a0+a1X+a2X2+⋯+anXn, unde sunt coeficienții.
| Noțiune | Ce înseamnă |
|---|
| termen liber | a0, termenul fără X; tot el este P(0) |
| termen principal | anXn, cu an=0 |
Forma canonică păstrează termenii până la cel principal, cu an=0. Două polinoame sunt egale exact când au aceeași formă canonică: același grad și coeficienți egali la fiecare putere. Așa afli parametrii dintr-o egalitate de polinoame. Polinomul nul nu are grad, iar un număr nenul este un polinom de gradul 0. Când coeficienții conțin un parametru, gradul poate depinde de el: verifici aparte valorile care anulează coeficientul principal.
Operații și grad
Produsul se face înmulțind fiecare termen al lui P cu fiecare termen al lui Q, apoi reduci termenii asemenea. Pentru polinoame nenule grad(P⋅Q)=gradP+gradQ, iar gradul sumei nu trece de cel mai mare dintre cele două grade (dacă suma nu este polinomul nul).
Valoarea și rădăcina
P(α) se obține înlocuind X cu α. Dacă P(α)=0, numărul α este o rădăcină a lui P.
Împărțirea cu rest
Pentru D și I=0 există un singur cât C și un singur rest R cu D=I⋅C+R, unde sau Împarți în coloniță: ordonezi ambele polinoame descrescător după grad, împarți termenul principal al deîmpărțitului la cel al împărțitorului și continui până când restul are gradul mai mic decât împărțitorul. Dacă este divizibil cu Din aceeași teoremă, restul la un împărțitor de gradul II are gradul cel mult 1, deci forma Când împărțitorul are două rădăcini reale distincte, ca pui pe rând fiecare rădăcină în acolo se anulează, deci are aceeași valoare ca restul, iar valoarea lui o dă teorema lui Bézout. Obții un sistem pentru și Dacă împarți egalitatea la obții o funcție rațională cu numărătorul de grad cel puțin egal cu al numitorului devine un polinom plus o fracție cu numărătorul de grad mai mic.
Teorema lui Bézout. Schema lui Horner
Restul împărțirii lui P(X) la X−c este P(c), deci îl afli fără să împarți. Consecința: c este rădăcină a lui P exact când P(X)=(X−c)⋅C(X). Câtul îl dă schema lui Horner: pe primul rând scrii toți coeficienții, inclusiv zerourile pentru puterile care lipsesc; cobori primul coeficient, apoi fiecare număr nou este coeficientul de deasupra plus înmulțit cu numărul precedent. Ultimul număr este restul. Pentru și rândul de sus este câtul iese iar restul
Rădăcini multiple
α este rădăcină de ordinul m dacă (X−α)m divide P, iar (X−α)m+1 nu. Ordinul 1 dă o rădăcină simplă, ordinul 2 una dublă, ordinul 3 una triplă. Ordinul îl afli împărțind repetat la cu Horner, până când câtul nu se mai divide.
Descompunerea în factori
Metodele: factorul comun, gruparea termenilor, formulele de calcul prescurtat, trinomul aX2+bX+c=a(X−x1)(X−x2), unde sunt soluțiile ecuației asociate, și combinațiile lor. Un polinom de grad cel puțin 1 este ireductibil peste o mulțime dacă nu se scrie ca produs de două polinoame de grad cel puțin 1 cu coeficienți din ea. Peste rămân ireductibili factorii de gradul 1 și trinoamele fără rădăcini reale: nu se descompune, da. La un polinom cu coeficienți întregi încerci întâi divizorii termenului liber, cu plus și cu minus, prin Bézout sau Horner. Metoda nu le prinde pe toate: rădăcina a lui nu este divizor al lui 1. Dacă gradul e impar și coeficienții sunt reali, măcar o rădăcină este reală.
