Алгебраические дроби на BAC, реальный профиль: ОДЗ, основное свойство и сокращение, сложение, умножение, деление и степень с целым показателем. Здесь правила из учебника 10 класса и ловушки с ОДЗ.
X.3. Одночлены. Многочлены. Алгебраические дроби
- Понятие алгебраическая дробь. ОДЗ.
- Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
- Операции с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем.
Что требует программа В реальном профиле алгебраические дроби замыкают раздел X.3 программы бакалавриата — после одночленов и многочленов. Нужно знать понятие алгебраической дроби и её ОДЗ, основное свойство дроби и сокращение, а также действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем. В учебнике 10 класса это § 5 модуля 5. Куррикулум ждёт, что ты применишь эти действия при упрощении выражений и доказательстве тождеств, поэтому они пригодятся и в других темах — везде, где дробь сначала нужно привести к простому виду.
Определение и ОДЗ Алгебраическая (рациональная) дробь — отношение QP двух многочленов, где Q — ненулевой многочлен. Её ОДЗ — все действительные числа, при которых знаменатель не обращается в ноль. На практике приравниваешь знаменатель к нулю, решаешь уравнение и выбрасываешь корни из R. У дроби (X+1)(X−4X3)X(1−X2) знаменатель равен нулю при −1,−0,5,0 и 0,5, значит, ОДЗ — R∖{−1;−0,5;0;0,5}. Находи ОДЗ до преобразований: сокращение может её изменить, и после него уже не видно, какие значения были исключены.
Разложение на множители Без него не сократить дробь и не найти общий знаменатель. Методы из учебника: вынесение общего множителя, группировка, квадратный трёхчлен в виде a(X−x1)(X−x2), формулы сокращённого умножения и их комбинации. В дробях чаще всего нужны:
Формула
Вид
разность квадратов
a2−b2=(a−b)(a+b)
сумма кубов
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
Сокращение и основное свойство дроби
Чтобы сократить дробь, раскладываешь числитель и знаменатель на неприводимые множители и делишь их на общие множители, как у обыкновенной дроби. Дробь выше превращается в 1−4X21−X.
Основное свойство: умножив или разделив числитель и знаменатель на один и тот же многочлен степени не ниже 1, получаешь дробь, равную исходной. Сокращение — это деление по этому свойству.
Равенство выполняется на ОДЗ обеих дробей, а сама ОДЗ может измениться: 1−4X21−X имеет смысл и при или где исходная дробь его не имеет. Поэтому в ответе «на ОДЗ» исключённые с самого начала значения так и остаются исключёнными.
Сложение и вычитание При одинаковых знаменателях складываешь (вычитаешь) числители, знаменатель оставляешь. При разных сначала приводишь дроби к общему знаменателю; здесь пригодится НОК знаменателей: произведение всех неприводимых множителей из разложений, каждый в наибольшей степени. В конце сокращаешь до несократимой дроби. Пример из учебника: на R∖{0;3}X2−3X3+X1+X−31=X−32.
Умножение, деление, степень Эти действия выполняются по правилам обыкновенных дробей на общей ОДЗ:
при умножении перемножаешь числители и знаменатели;
при делении умножаешь делимое на дробь, обратную делителю; числитель делителя при этом уходит в знаменатель, поэтому и он не должен быть равен нулю;
в натуральную степень возводишь числитель и знаменатель;
отрицательный показатель переворачивает дробь: (QP)−n=(QP)n1=(PQ)n; так как определено только при здесь нужно ещё и
Осторожно с примером из учебника про (X2X−1)−3: там для исходного выражения записана ОДЗ R∖{0}, а для результата (X−1)3X6 — По правилу выше в исходном выражении нужно исключить и там основание равно а не определено.
ОДЗ результата и здесь может оказаться шире исходной: в примере из учебника у частного ОДЗ R∖{−3}, а выражение, к которому оно сводится, (X−2)(X+3), определено на всём
Целая часть дроби Если степень числителя не меньше степени знаменателя, делишь с остатком: из D=I⋅C+R, где R=0 или gradR<gradI, получается ID=C+IR. Такая запись быстро показывает, при каких целых дробь принимает целые значения: учебник просит именно это для
Тождества Если значения двух выражений совпадают при всех значениях из их общей ОДЗ, выражения тождественно равны, а их равенство — тождество. Доказываешь его, преобразуя одну часть до другой, приводя обе части к одному выражению или показывая, что их разность равна нулю.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Фрагмент с 26-й минуты, около 17 минут, из урока-повторения к экзамену на русском языке (содержание одобрено ANCE): сначала ОДЗ рационального выражения — каждый знаменатель не равен нулю, а при делении ещё и множитель, который переходит в знаменатель; затем деление дробей, разложение разности квадратов и квадратного трёхчлена на множители и сокращение до x−23. Вторая задача — сумма двух дробей, приведённых к общему знаменателю, с проверкой корней по ОДЗ.
О чём: Сокращение алгебраических дробей: числитель и знаменатель раскладываются на множители вынесением общего множителя и по формулам сокращённого умножения, после чего общий множитель сокращается.
О чём: Сложение и вычитание алгебраических дробей: разные способы привести дроби к общему знаменателю, в том числе через разложение знаменателей на множители и формулы сокращённого умножения.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
15 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
разность кубов
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
X=0
X=−1,
Дробь, которую уже нельзя сократить, называется несократимой.
Дроби Q1P1 и Q2P2 равны на ОДЗ обеих, если P1Q2=P2Q1.
