Функция II степени в гуманитарном профиле: вершина, нули, знак, экстремумы
Функция II степени на BAC, гуманитарный профиль: график, вершина параболы, нули, знак, монотонность, экстремумы и множество значений. Здесь правила программы, разобранный пример и ошибки, которые стоят баллов.
Что требует программа гуманитарного профиля Страница для работы BAC по математике, гуманитарный профиль, раздел X.3 «Функции». Программа требует понятие функции II степени, её график и свойства: нули, монотонность, знак, экстремумы. Свойства выводят по рисунку или по формуле, поэтому нужны оба пути. Всё решается формулами ниже.
Определение и график Функция II степени (квадратичная функция) имеет вид f:R→R,f(x)=ax2+bx+c, где a=0. Её график — парабола. Простейший случай — f(x)=ax2: вершина в начале координат, ветви идут вверх при a>0 и вниз при a<0. График ax2+bx+c имеет ту же форму и получается из параболы y=ax2 двумя параллельными переносами: вдоль Ox на −2ab и вдоль Oy на −4aΔ.
Дискриминант и канонический вид Δ=b2−4ac — дискриминант соответствующего уравнения ax2+bx+c=0. С ним функцию записывают в каноническом виде Отсюда видно, почему вершина имеет координаты ниже: квадрат наименьший (нулевой) ровно при
Вершина и ось симметрии
абсцисса вершины: x0=−2ab;
ордината вершины: y0=f(x0) или
Ординату y0 надёжнее считать как f(x0). Из y0=−4aΔ следует и то, что вершина лежит на оси ровно при
Экстремумы, значения, монотонность
a>0
a<0
ветви
вверх
вниз
экстремум
минимум, f(x0)=−4aΔ
Промежутки монотонности встречаются в точке x0 и оба её содержат.
Нули Нули функции — действительные решения уравнения ax2+bx+c=0, поэтому их число определяет Δ:
Δ>0: два нуля, x1,2=2a−b∓Δ, график пересекает в двух точках;
График пересекает ось Oy в точке (0;f(0)), а подстановка x=0 в ax2+bx+c даёт
Знак функции
Δ<0: знак a при любом x;
Δ=0: знак a при любом x=x0 (в точке функция равна
Так же решают неравенства II степени: учебник десятого класса читает их по знаку функции. При «≥» учебник добавляет нули к решениям неравенства «>» (при «≤» так же, относительно «<»), поэтому нули входят в решение при «≥» и «≤» и не входят при « и «
Как построить график
1)Найдите нули (решите соответствующее уравнение) и f(0).
2)Вычислите вершину и ось симметрии.
3)Составьте таблицу с этими абсциссами и при необходимости с другими значениями.
4)Соедините точки параболой, ветви которой направлены по знаку a.
Приложения Функция II степени описывает высоту брошенного вверх тела, прыжок, дугу моста. При a<0 наибольшая высота — это и есть y0; вопрос «сколько времени тело находится выше заданной высоты» приводит к неравенству II степени.
Что проверяет работа гуманитарного профиля В шести заданиях BAC 2022–2025 годов на этой странице требуются координаты вершины, точку, которая должна принадлежать другому графику, параметры по заданной вершине, множество значений E(f), условие точки максимума или минимума либо знак функции (неравенства, целые значения, пересечения множеств). Баремы этих заданий оплачивают этапы (абсцисса, ордината, нули, промежуток): записывайте каждый этап.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Определение, вершина параболы, множество значений, нули, монотонность, экстремумы и построение графика по шагам на двух примерах; урок для 10 класса (Е. Лунгу). В видео есть также чётность и «локальные экстремумы»; знак функции разбирается в следующем видео.
Знак функции II степени по эскизу параболы: нули, случаи D>0,D=0,D<0, строгие и нестрогие неравенства (выколотые и закрашенные точки) и разбор примеров; урок для 10 класса (Е. Лунгу).
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
17 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
f(x)=a(x+2ab)2−4aΔ.
x=−2ab.
y0=−4aΔ;
ось симметрии: прямая x=−2ab.
Ox
Δ=0.
максимум, f(x0)=−4aΔ
E(f)
[−4aΔ;+∞)
(−∞;−4aΔ]
строго убывает
(−∞;x0]
[x0;+∞)
строго возрастает
[x0;+∞)
(−∞;x0]
Ox
Δ=0: один нуль, x=−2ab, график имеет с Ox одну общую точку — вершину (x0;0);
Δ<0: нулей нет, график не пересекает Ox.
f(0)=c.
x0
0);
Δ>0, нули x1<x2: знак a вне нулей, на (−∞;x1)∪(x2;+∞), и противоположный знак между ними, на (x1;x2).
