Математика, BAC · Реальный профиль · Алгебра · Элементы тригонометрии
Тригонометрическая окружность, функции sin, cos, tg, ctg: свойства, графики
Тригонометрическая окружность, градусы и радианы, функции синус, косинус, тангенс и котангенс из программы BAC для реального профиля. Здесь определения, значения, знаки по четвертям, свойства и графики.
X.6. Элементы тригонометрии
- Тригонометрическая окружность. Преобразование единиц измерения углов из градусов в радианы и обратно.
- Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс.
- Графики тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Свойства.
Что требует программа Тема открывает раздел тригонометрии в программе BAC для реального профиля, где математика — обязательный экзамен. Здесь требуются тригонометрическая окружность, перевод углов из градусов в радианы и обратно, четыре тригонометрические функции, их графики и свойства, прочитанные по графику или по формуле.
Градусы и радианы Углы измеряют в градусах или в радианах. Градус — это 901 часть прямого угла, 1∘=60′ и 1′=60′′. Радианная мера центрального угла — отношение дуги, на которую он опирается, к радиусу, α=rl, поэтому один радиан опирается на дугу длиной в радиус. Полный угол равен 2π рад, развёрнутый — π рад, прямой — 2π рад, где π≈3,14.
Из соотношения αa=π180∘, где a — градусы, а α — радианы, получаем:
из градусов в радианы: α=180∘a⋅π, например 45∘=4π;
Радианная мера угла — действительное число, поэтому тригонометрические функции определены на действительных числах: sinx — синус угла в x радиан. Градусы пишут со знаком градуса, как в cos9∘, а sin2 — синус действительного числа 2, то есть угла в 2 рад.
Тригонометрическая окружность Ориентированный угол получают поворотом луча вокруг начала координат: против часовой стрелки — положительное направление, по часовой — отрицательное. Ещё n полных оборотов возвращают луч в то же положение, поэтому α и α±2πn дают одну точку окружности: 90∘,450∘ и −270∘ записываются как Тригонометрическая окружность имеет радиус и центр в начале координат. Угол принадлежит той четверти, в которой лежит точка где его подвижная сторона пересекает окружность.
Определения Пусть M(x;y) — точка окружности, соответствующая углу α:
sinα=y — ордината точки M,cosα=x — её абсцисса;
tgα=cosαsinα, только при
Для острого угла прямоугольного треугольника эти определения дают отношения сторон: синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
Значения, которые нужно знать
sin6π=21,sin4π=22, косинус проходит те же значения в обратном порядке, от до
Свойства четырёх функций
sinx
cosx
tgx
ctgx
Область определения
R
R
x=2π+πk
Периодическую функцию изучают на одном промежутке длины периода, а график оттуда повторяется вправо и влево. График синуса проходит через начало координат, график косинуса пересекает ось Oy в точке (0;1). Оба графика — волны, колеблющиеся между −1 и 1. График тангенса состоит из возрастающих ветвей, по одной на каждом промежутке (−2π+πk;2π+πk), разделённых прямыми где тангенс не определён; у котангенса ветви убывающие, их разделяют прямые
Монотонность и экстремумы
sinx строго возрастает на [−2π+2πk;2π+2πk] и строго убывает на максимум достигается в минимум — в
Как с этим работать
Знак выражения: находишь четверть каждого угла и читаешь знак по таблице; например, 34π лежит в III четверти, где косинус отрицателен.
Сравнение двух значений: на промежутке монотонности порядок углов даёт порядок значений; косинус убывает на [0∘;180∘], поэтому cos9∘>cos10∘.
Чертежи и схемы
Тригонометрическая окружность: часто используемые углы в радианах и знаки функций по четвертям. Для точки M угла α абсцисса равна cos α, ордината — sin α.
Синус и косинус принимают значения от −1 до 1, а их графики повторяются с периодом 2π. График синуса проходит через начало координат, график косинуса пересекает ось Oy в точке (0; 1).
Тангенс и котангенс повторяются с периодом π. Тангенс возрастает на каждом промежутке между двумя прямыми x = π/2 + πk, где он не определён; котангенс убывает на каждом промежутке между двумя прямыми x = πk.
О чём: Радиан, перевод градусов в радианы и обратно, часто используемые углы, четверть точки на окружности и координаты точек при повороте. Окружность здесь называют единичной — это та же тригонометрическая окружность.
О чём: Построение синусоиды и графика косинуса и свойства по графику: область определения, множество значений, нечётность и чётность, наибольшее и наименьшее значения, период; в конце — преобразования графиков, которые выходят за рамки темы.
О чём: Графики тангенса и котангенса и их свойства: область определения, множество значений, период, нули, знаки, нечётность, монотонность, отсутствие экстремумов.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
из радианов в градусы: a=πα⋅180∘, например 1 рад ≈57∘17′44′′ (при π≈3,1416).
2π+2πn.
1
M,
α=2π+πk;
ctgα=sinαcosα, только при α=πk,k∈Z.
sin3π=23,
sin2π=1;
cos0=1
cos2π=0.
tg6π=33,tg4π=1,tg3π=3;tg2π и ctg0 не существуют.
Вне первой четверти знак определяется положением точки: cos43π=−22,sin(−3π)=−23.
x=πk
Множество значений
[−1;1]
[−1;1]
R
R
Нули
πk
2π+πk
πk
2π+πk
Основной период
2π
2π
π
π
Чётность
нечётная
чётная
нечётная
нечётная
Положительна в четвертях
I, II
I, IV
I, III
I, III
x=2π+πk,
x=πk.
[2π+2πk;23π+2πk];
1
2π+2πk,
−1
23π+2πk.
cosx строго убывает на [2πk;π+2πk] и строго возрастает на [π+2πk;2π+2πk]; максимум 1 в 2πk, минимум −1 в π+2πk.
tgx строго возрастает на каждом промежутке (−2π+πk;2π+πk),ctgx строго убывает на каждом промежутке (πk;π+πk), и экстремумов у них нет.
Множество значений выражения с sinx или cosx: начинаешь с −1≤sinx≤1 и выполняешь одни и те же действия во всех частях неравенства; при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
