Matematica, BAC · Profil real · Analiză matematică · Funcții derivabile. Aplicații ale derivatelor

Interpretarea fizică și geometrică a derivatei, diferențiala

Viteza și accelerația ca derivate, panta și ecuația tangentei, diferențiala funcției: ce cere programa de bacalaureat la profilul real. Aici ai regulile din manualul de clasa a XI-a, algoritmul tangentei și greșelile care costă puncte.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
La profilul real, unitatea XI.3 a programei de bacalaureat cere la această temă interpretarea fizică și cea geometrică a derivatei, aplicațiile directe în fizică, ecuația tangentei la grafic într-un punct, noțiunea de diferențială și regulile ei de calcul. Dintre rezultatele așteptate: viteza și accelerația instantanee ale unui mobil, ecuația tangentei în diverse contexte și diferențiala unei funcții date. Pagina e scrisă pentru candidații la profilul real.

Interpretarea fizică: viteza și accelerația
Un mobil se mișcă pe o axă după legea $s=s(t)$ , unde $s(t)$ este abscisa lui la momentul $t$ . Raportul $\dfrac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$ este viteza medie între $t_0$ și $t$ . Pe măsură ce $t$ se apropie de $t_0$ , viteza medie se apropie de o valoare pe care fizica o numește viteza instantanee în momentul $t_0$ ; ea este limita raportului, adică derivata. Sensul fizic (mecanic) al derivatei:

viteza: $v(t_0)=s'(t_0)$ ;
accelerația: $a(t_0)=v'(t_0)$ ;

Manualul propune probleme cu formula vitezei, viteza la un moment dat, momentul în care mobilul se oprește și momentele de întâlnire a două mobile. Metoda de lucru se deduce din definiții (manualul nu o dă ca regulă): derivezi legea mișcării o dată pentru viteză și de două ori pentru accelerație; „mobilul s-a oprit” înseamnă viteză zero, deci rezolvi $v(t)=0$ ; „două mobile se întâlnesc” înseamnă aceeași poziție în același moment, deci rezolvi $s_1(t)=s_2(t)$ ; din soluții păstrezi momentele cu sens fizic, de obicei

Interpretarea geometrică: tangenta
Pe graficul lui $f$ alegi punctele $A(x_0;\,f(x_0))$ și $B(x_0+\Delta x;\,f(x_0+\Delta x))$ . Secanta are panta Când se apropie de secanta tinde spre tangentă, iar panta ei tinde spre De aici:

derivata finită $f'(x_0)$ și tangenta neverticală în punctul de abscisă $x_0$ există numai împreună: una o implică pe cealaltă, iar panta tangentei este $f'(x_0)$ ;

O dreaptă care formează cu direcția pozitivă a axei $Ox$ unghiul $\alpha$ are panta $m=\operatorname{tg}\alpha$ ; pentru tangentă, $\operatorname{tg}\alpha=f'(x_0)$ . Din această egalitate afli unghiul tangentei cu dacă atunci și tangenta este paralelă cu (se întâmplă, între altele, într-un punct de extrem local al unei funcții derivabile pe un interval, conform teoremei lui Fermat); dacă atunci Când este continuă în și sau tangenta este paralelă cu și are ecuația

Ecuația tangentei
Tangenta în punctul de abscisă $x_0$ este dreapta $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ . Ordinea de lucru:

1)afli $x_0$ ; uneori punctul de tangență e dat indirect, printr-o proprietate (de pildă, se află pe o dreaptă sau pe o axă): scrii proprietatea ca ecuație cu necunoscuta $x_0$ și o rezolvi în domeniul funcției;
2)calculezi $f(x_0)$ ;

Diferențiala
Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$ , diferențiala lui $f$ în $x_0$ este funcția liniară care lui îi asociază se notează Pentru se obține deci pe tot intervalul De exemplu, Tabelul diferențialelor are aceleași funcții ca tabelul derivatelor, doar că fiecare derivată se înmulțește cu fiecărei reguli de derivare îi corespunde o regulă de calcul a diferențialelor, iar manualul dă exemplul

Sensul geometric: pentru același $\Delta x$ , $\Delta f(x_0)$ măsoară cât se schimbă ordonata pe grafic, iar $df(x_0)$ cât se schimbă ordonata pe tangentă. Când $\Delta x$ e aproape de zero, cele două sunt aproape egale, de unde formula de calcul aproximativ O folosești pentru suficient de mic.

Interpretarea fizică și geometrică a derivatei, diferențiala

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină