Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Дифференцируемые функции. Применение производной

Физический и геометрический смысл производной, дифференциал

Скорость и ускорение как производные, угловой коэффициент и уравнение касательной, дифференциал: что требует программа бакалавриата для реального профиля. Правила из учебника 11 класса, алгоритм касательной и ошибки, которые стоят баллов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
В реальном профиле раздел XI.3 программы бакалавриата включает по этой теме физический и геометрический смысл производной, приложения производной в физике, уравнение касательной к графику в точке, понятие дифференциала и правила его вычисления. Среди ожидаемых результатов: мгновенная скорость и ускорение тела, уравнение касательной в разных контекстах и дифференциал заданной функции. Страница написана для кандидатов реального профиля.

Физический смысл: скорость и ускорение
Материальная точка движется по оси по закону $s=s(t)$ , где $s(t)$ — её абсцисса в момент $t$ . Отношение $\dfrac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$ — средняя скорость между $t_0$ и $t$ . По мере того как $t$ приближается к $t_0$ , средняя скорость приближается к определённому значению, которое физика называет мгновенной скоростью в момент $t_0$ ; это предел отношения, то есть производная. Механический (физический) смысл производной:

скорость: $v(t_0)=s'(t_0)$ ;
ускорение: $a(t_0)=v'(t_0)$ ;

Учебник предлагает задачи на формулу скорости, скорость в заданный момент, момент остановки точки и моменты встречи двух точек. Метод решения выводится из определений (в учебнике он не дан как правило): закон движения дифференцируют один раз для скорости и два раза для ускорения; «точка остановилась» означает нулевую скорость, поэтому решают $v(t)=0$ ; «две точки встретились» означает одно и то же положение в один момент, поэтому решают $s_1(t)=s_2(t)$ ; из решений оставляют моменты, имеющие физический смысл, обычно

Геометрический смысл: касательная
На графике $f$ берут точки $A(x_0;\,f(x_0))$ и $B(x_0+\Delta x;\,f(x_0+\Delta x))$ . Секущая имеет угловой коэффициент Когда приближается к секущая стремится к касательной, а её угловой коэффициент — к Отсюда:

конечная производная $f'(x_0)$ и невертикальная касательная в точке с абсциссой $x_0$ существуют только вместе: одно влечёт другое, а угловой коэффициент касательной равен $f'(x_0)$ ;

Прямая, образующая с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$ , имеет угловой коэффициент $m=\operatorname{tg}\alpha$ ; для касательной $\operatorname{tg}\alpha=f'(x_0)$ . Из этого равенства находят угол касательной с если то и касательная параллельна (так бывает, в частности, в точке локального экстремума функции, дифференцируемой на интервале, по теореме Ферма); если то Если непрерывна в а или касательная параллельна и задаётся уравнением

Уравнение касательной
Касательная в точке с абсциссой $x_0$ — прямая $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ . Порядок работы:

1)найти $x_0$ ; иногда точка касания задана косвенно, через свойство (например, она лежит на заданной прямой или оси): это свойство записывают как уравнение с неизвестным $x_0$ и решают его в области определения функции;
2)вычислить $f(x_0)$ ;

Дифференциал
Если $f$ дифференцируема в $x_0$ , дифференциал $f$ в $x_0$ — это линейная функция, которая числу ставит в соответствие записывают Для получается поэтому на всём интервале Например, В таблице дифференциалов те же функции, что в таблице производных, только каждая производная умножается на каждому правилу дифференцирования соответствует правило вычисления дифференциалов, а учебник приводит пример

Геометрический смысл: при одном и том же $\Delta x$ величина $\Delta f(x_0)$ показывает, насколько меняется ордината на графике, а $df(x_0)$ — насколько меняется ордината на касательной. Когда $\Delta x$ близко к нулю, они почти равны, отсюда формула приближённого вычисления Её применяют при достаточно малом близком к нулю.

Физический и геометрический смысл производной, дифференциал

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу