Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Puteri. Radicali. Logaritmi

Logaritmi: definiția, identitatea fundamentală, proprietățile

Logaritmul unui număr pozitiv și proprietățile lui, o temă din unitatea X.2 a programei de BAC la matematică pentru profilul real. Aici ai definiția, condițiile pentru bază și argument, proprietățile din manual și compararea logaritmilor.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

X.2. Puteri. Radicali. Logaritmi - Logaritmul unui număr pozitiv. Proprietăți.

Programa de examen, PDF, pagina 5

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
La profilul real, logaritmul unui număr pozitiv și proprietățile lui formează o temă din unitatea X.2 a programei de bacalaureat. Printre rezultatele cerute de programă sunt calculul cu logaritmi după proprietățile potrivite și estimările în calcule cu numere reale. Ecuațiile și inecuațiile logaritmice sunt trecute separat, în unitatea X.5, și se sprijină pe proprietățile de aici. După curriculum, tema se învață în clasa a X-a.

Definiția
Dacă $a$ și $c$ sunt pozitive și $a \neq = 1$ , există un singur număr real $b$ cu $a^{b} = c$ . Acest număr se numește logaritmul lui $c$ în baza $a$ și se notează $lo g_{a} c$ . Pe scurt, $lo g_{a} c = b$ și $a^{b} = c$ spun același lucru: logaritmul este exponentul la care ridici baza ca să obții numărul. Exemple: $lo g_{3} 81 = 4$ , pentru că $3^{4} = 81$ ; $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , pentru că $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .

Condițiile pentru bază și argument

Baza este pozitivă: puterea cu exponent real se definește numai pentru o bază pozitivă, așa că $lo g_{(- 2)} 4$ nu are sens.
Baza este diferită de 1: orice putere a lui 1 dă 1, deci pentru $c \neq = 1$ nu există niciun exponent potrivit, iar pentru $c = 1$ merge oricare. Exponentul nu se poate determina.
Argumentul este pozitiv: o bază pozitivă ridicată la orice putere reală dă tot un număr pozitiv, niciodată zero sau negativ. Din acest motiv $lo g_{2} (- 4)$ și nu au sens.

Când baza sau argumentul conțin o necunoscută, din aceste trei condiții scrii domeniul valorilor admisibile (DVA), înainte de orice calcul.

Logaritmi zecimali și naturali
$l g c$ este logaritmul în baza 10, iar $ln c$ este logaritmul în baza $e$ , unde $e = 2, 7182 \dots$ este un număr irațional.

Identitatea logaritmică fundamentală
Ridicând baza la propriul logaritm, obții numărul înapoi: $a^{l o g_{a} c} = c$ , pentru $a, c > 0$ , $a \neq = 1$ . De aici, orice număr pozitiv poate fi scris ca putere a unei alte baze sau ca logaritm: Scrierea sau ajută când vrei ca toți termenii să fie logaritmi în aceeași bază.

Proprietățile de bază
Pentru $x, y > 0$ și baze $a$ , $c$ pozitive și diferite de 1:

Nr.	Formula	Ce face
1°, 2°	$lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} 1 = 0$	două valori fixe
4°	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

Proprietatea 3° este identitatea fundamentală de mai sus.

Profilul real: proprietățile cu modul
În 4°–7° baza și numerele de sub logaritm sunt pozitive. Manualul de clasa a X-a generalizează aceste patru proprietăți prin 12°–15°, marcate ca material pentru profilul real. Pentru $u$ , $v$ negative și un exponent par $α = 2 k$ ( $k$ întreg nenul):

$lo g_{a} (uv) = lo g_{a} ∣ u ∣ + lo g_{a} ∣ v ∣$ și $lo g_{a} \frac{u}{v} = lo g_{a} ∣ u ∣ - lo g_{a} ∣ v ∣$ ;

Fără modul, la $u < 0$ membrul drept nu are sens, deși membrul stâng există.

Logaritmare și potențiere
Trecerea de la o expresie pozitivă $E$ la $lo g_{a} E$ se numește logaritmare. Operația inversă, prin care afli expresia când îi cunoști logaritmul, se numește potențiere.

Compararea și estimarea

Baza mai mare decât 1 păstrează ordinea: dacă $x > y > 0$ , atunci $lo g_{a} x > lo g_{a} y$ .
Baza între 0 și 1 o inversează: dacă $x > y > 0$ , atunci

Un logaritm îl poți compara cu un număr trecând la puteri ale bazei. Așa arată manualul că $lo g_{2} 3 > 1, 5$ : altfel ar rezulta $3 < 2^{1, 5} = 22$ , ceea ce e fals. Din aceeași regulă vine estimarea: dacă atunci Doi logaritmi cu baze diferite îi poți compara printr-un număr aflat între ei: iar deci

Cum lucrezi

1.Scrie DVA dacă apare o necunoscută.
2.Descompune numerele în factori primi și caută o bază comună.
3.Adu toți termenii la aceeași bază cu 7° sau 8°.
4.Strânge sumele și diferențele cu 4° și 5°, apoi calculează.

Logaritmi: definiția, identitatea fundamentală, proprietățile

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină