Математика, BAC · Реальный профиль · Алгебра · Степени. Корни. Логарифмы

Логарифмы: определение, основное тождество, свойства

Логарифм положительного числа и его свойства — тема из раздела X.2 программы бакалавриата по математике для реального профиля. Здесь определение, условия на основание и аргумент, свойства из учебника и сравнение логарифмов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

X.2. Степени. Корни. Логарифмы - Логарифм положительного числа. Свойства.

Программа экзамена, PDF, страница 6

Что нужно знать

Что требует программа
Для реального профиля логарифм положительного числа и его свойства — отдельная тема раздела X.2 программы бакалавриата. Среди требований программы — вычисления с логарифмами с применением нужных свойств и приближённые оценки в вычислениях с действительными числами. Логарифмические уравнения и неравенства вынесены в раздел X.5 и опираются на свойства из этой темы. По куррикулуму тему проходят в X классе.

Определение
Для положительных $a$ и $c$ , где $a \neq = 1$ , существует ровно одно действительное $b$ , при котором $a^{b} = c$ . Это число называют логарифмом $c$ по основанию $a$ и пишут $lo g_{a} c$ . Значит, записи $lo g_{a} c = b$ и $a^{b} = c$ равносильны: логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число. Например, $lo g_{3} 81 = 4$ , так как $3^{4} = 81$ , и $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , так как $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .

Ограничения на основание и аргумент

Основание положительно: степень с действительным показателем определена только для положительного основания, так что $lo g_{(- 2)} 4$ смысла не имеет.
Основание не равно 1: любая степень единицы равна 1, поэтому при $c \neq = 1$ подходящего показателя нет вовсе, а при $c = 1$ годится любой. Показатель найти нельзя.
Аргумент положителен: положительное основание в любой действительной степени даёт положительное число, а не ноль и не отрицательное. Из-за этого $lo g_{2} (- 4)$ и смысла не имеют.

Если в основании или аргументе есть неизвестное, из этих трёх условий сначала выписывают область допустимых значений (ОДЗ).

Десятичный и натуральный логарифмы
$l g c$ — логарифм по основанию 10, $ln c$ — логарифм по основанию $e$ , где $e = 2, 7182 \dots$ — иррациональное число.

Основное логарифмическое тождество
Если возвести основание в степень его логарифма, вернётся само число: $a^{l o g_{a} c} = c$ при $a, c > 0$ , $a \neq = 1$ . Отсюда любое положительное число можно записать как степень другого основания или как логарифм: Запись или пригодится, когда все слагаемые нужно сделать логарифмами по одному основанию.

Основные свойства
Для $x, y > 0$ и положительных оснований $a$ , $c$ , не равных 1:

№	Формула	Что даёт
1°, 2°	$lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} 1 = 0$	два постоянных значения
4°	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

Свойство 3° — это основное тождество из предыдущего пункта.

Реальный профиль: свойства с модулем
В 4°–7° основание и числа под логарифмом положительны. Учебник X класса обобщает эти четыре свойства свойствами 12°–15°, и этот материал отмечен как предназначенный для реального профиля. Для отрицательных $u$ , $v$ и чётного показателя $α = 2 k$ ( $k$ — целое, не равное нулю):

$lo g_{a} (uv) = lo g_{a} ∣ u ∣ + lo g_{a} ∣ v ∣$ и $lo g_{a} \frac{u}{v} = lo g_{a} ∣ u ∣ - lo g_{a} ∣ v ∣$ ;

Без модуля при $u < 0$ правая часть теряет смысл, хотя левая существует.

Логарифмирование и потенцирование
Переход от положительного выражения $E$ к $lo g_{a} E$ называют логарифмированием. Обратное действие — нахождение выражения по его логарифму — называют потенцированием.

Сравнение и оценка

Основание больше 1 сохраняет порядок: если $x > y > 0$ , то $lo g_{a} x > lo g_{a} y$ .
Основание между 0 и 1 меняет порядок: если $x > y > 0$ , то

Логарифм можно сравнить с числом, перейдя к степеням основания. Так учебник показывает, что $lo g_{2} 3 > 1, 5$ : иначе получилось бы $3 < 2^{1, 5} = 22$ , а это неверно. Из того же правила следует оценка: раз то Два логарифма с разными основаниями сравнивают через число, лежащее между ними: а значит,

Порядок работы

1.Если есть неизвестное, выпиши ОДЗ.
2.Разложи числа на простые множители и найди общее основание.
3.Приведи все слагаемые к одному основанию по 7° или 8°.
4.Собери суммы и разности по 4° и 5° и только потом вычисляй.

Логарифмы: определение, основное тождество, свойства

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу