Matematica, BAC · Profil real · Algebră · Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare

Matrice și determinanți: operații, proprietăți, matricea inversă

Matricele și determinanții de ordinul 2 și 3, prima parte a temei XI.5 din programa de bacalaureat, profilul real. Aici ai operațiile, proprietățile determinanților, criteriul de inversabilitate, inversa de ordinul 2, ecuațiile matriceale.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce cere programa

XI.5. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare - Noțiunea de matrice. Cazuri particulare. - Operații cu matrice. Proprietăți. - Noțiunea de determinant de ordinul doi, de ordinul trei, de ordinul n. - Proprietățile fundamentale necesare pentru calculul determinanților. - Calculul determinanților de ordinul doi, trei. - Matrice inversabilă. - Calculul matricei inverse a unei matrice de ordinul doi. - Ecuații matriceale: AX = B; YA = B, unde A, B sunt matrice de ordinul doi.

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
La profilul real, unitatea XI.5 a programei de bacalaureat cere noțiunea de matrice cu cazurile ei particulare, operațiile cu matrice și proprietățile lor, noțiunea de determinant și proprietățile lui fundamentale, matricea inversabilă și ecuațiile matriceale. La calcul, programa se oprește la determinanții de ordinul doi și trei, la inversa unei matrice de ordinul doi și la ecuațiile $A X = B$ , $Y A = B$ cu matrice de ordinul doi. Curriculumul de clasa a XI-a merge mai departe, până la determinanții de ordinul patru și calculul inversei unei matrice inversabile de orice ordin. Sistemele de ecuații liniare, cu regula lui Cramer și metoda lui Gauss, sunt tema următoare a aceleiași unități.

Matricea și cazurile particulare
O matrice de tip $(m, n)$ este un tabel cu $m$ linii și $n$ coloane, deci cu $m \cdot n$ elemente. În $a_{ij}$ primul indice arată linia, al doilea coloana: $a_{12}$ se citește „a-unu-doi”, nu „a-doisprezece”. Manualul lucrează cu elemente numere complexe, așa că într-un determinant poate apărea și $i$ .

matrice pătratică de ordinul $n$ , când $m = n$ : elementele $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ formează diagonala principală, iar diagonala secundară;

Două matrice de același tip sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale.

Operații

Suma $A + B$ există numai pentru matrice de același tip și se face element cu element. Orice matrice se poate înmulți cu un număr: $α A$ are fiecare element înmulțit cu $α$ .
Transpusa $^{t} A$ a unei matrice de tip $(m, n)$ are tipul $(n, m)$ : coloanele ei sunt liniile lui $A$ .

Determinanții de ordinul 2 și 3
$a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

Determinantul de ordinul 3 are șase termeni. Fiecare termen înmulțește trei elemente aflate în linii diferite și în coloane diferite:
$Δ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

Ca să nu greșești semnele, folosește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus.

Minor, complement algebric, dezvoltare
Minorul $M_{ij}$ al elementului $a_{ij}$ este determinantul care rămâne după ce tai linia $i$ și coloana $j$ (manualul îl notează $M_{j}^{i}$ ). Complementul algebric este Un determinant se poate dezvolta după orice linie, sau după orice coloană. Alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.

Proprietățile determinanților

Ce faci	Ce se întâmplă cu determinantul
transpui matricea	nu se schimbă
permuți două linii	își schimbă semnul
matricea are două linii egale sau proporționale, ori o linie de zerouri	este 0
înmulțești o linie cu un număr $α$	se înmulțește cu $α$
aduni la o linie altă linie înmulțită cu un număr	nu se schimbă

Tot ce e adevărat pentru linii e adevărat și pentru coloane. Dacă înmulțești cu $α$ toate elementele unei matrice de ordinul 3, $α$ iese din fiecare dintre cele trei linii: $det (α A) = α^{3} det A$ . Determinantul unei matrice triunghiulare de ordinul 2 sau 3 este produsul elementelor de pe diagonala principală, iar $det (A B) = det A \cdot det B$ . Înainte de calcul, folosește proprietățile ca să obții zerouri.

Matricea inversabilă
O matrice pătratică $A$ este inversabilă dacă există $A^{- 1}$ cu $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ . Criteriul: $A$ este inversabilă dacă și numai dacă , și atunci Inversa se obține din complemenții algebrici, așezați transpus și împărțiți la Pentru ordinul doi asta înseamnă:

adică schimbi între ele elementele diagonalei principale, schimbi semnul celorlalte două și împarți la determinant.

Ecuațiile matriceale
Când $det A \neq = 0$ :

$A X = B$ : înmulțești ambii membri la stânga cu $A^{- 1}$ și obții $X = A^{- 1} B$ ;
$Y A = B$ : înmulțești cu și obții

Ordinea factorilor contează, fiindcă produsul nu este comutativ.

Matrice și determinanți: operații, proprietăți, matricea inversă

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină