Математика, BAC · Реальный профиль · Алгебра · Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

Матрицы и определители: действия, свойства, обратная матрица

Матрицы и определители второго и третьего порядков — первая часть темы XI.5 программы бакалавриата для реального профиля. Здесь действия с матрицами, свойства определителей, критерий обратимости, обратная матрица и матричные уравнения.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

XI.5. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений - Понятие матрица. Частные случаи. - Действия с матрицами. Свойства. - Понятие определитель второго порядка, третьего порядка, n-го порядка. - Основные свойства, необходимые для вычисления определителей. - Вычисление определителей второго и третьего порядков. - Обратимая матрица. - Вычисление обратной матрицы для матрицы второго порядка. - Матричные уравнения AX = B; YA = B, где A и B матрицы второго порядка.

Что нужно знать

Что требует программа
В реальном профиле раздел XI.5 программы бакалавриата включает понятие матрицы и её частные случаи, действия с матрицами и их свойства, понятие определителя и его основные свойства, обратимую матрицу и матричные уравнения. Вычислять при этом нужно определители второго и третьего порядков, обратную матрицу — только для матрицы второго порядка, а уравнения $A X = B$ , $Y A = B$ — с матрицами второго порядка. Куррикулум XI класса шире: в нём есть определители четвёртого порядка и обратная матрица без ограничения порядка. Системы линейных уравнений с правилом Крамера и методом Гаусса — следующая тема того же раздела.

Матрица и её частные случаи
Матрица размера $m \times n$ — таблица с $m$ строками и $n$ столбцами, то есть с $m \cdot n$ элементами. В записи $a_{ij}$ первый индекс — номер строки, второй — номер столбца; $a_{12}$ читают «а-один-два», а не «а-двенадцать». В учебнике элементы матриц — комплексные числа, поэтому в определителе может встретиться и $i$ .

квадратная матрица порядка $n$ , если $m = n$ : элементы $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ образуют главную диагональ, а — второстепенную (побочную);

Две матрицы одного размера равны, если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Действия с матрицами

Сумма $A + B$ определена только для матриц одного размера и считается поэлементно. Умножить на число можно любую матрицу: каждый её элемент умножается на $α$ .
Транспонированная матрица $^{t} A$ к матрице размера $m \times n$ имеет размер $n \times m$ : её столбцы — это строки $A$ .

Определители второго и третьего порядков
$a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

В определителе третьего порядка шесть членов. Каждый член перемножает три элемента из разных строк и разных столбцов:
$Δ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

Знаки удобно запоминать по правилу треугольников или по правилу Саррюса.

Минор, алгебраическое дополнение, разложение
Дополнительный минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ — определитель, который остаётся после удаления строки $i$ и столбца $j$ (в учебнике он обозначен $M_{j}^{i}$ ). Алгебраическое дополнение — число Определитель раскладывают по любой строке, или по любому столбцу. Выбирай строку или столбец, где больше нулей.

Свойства определителей

Что делаешь	Что происходит с определителем
транспонируешь матрицу	не меняется
переставляешь две строки	меняет знак
в матрице две равные или пропорциональные строки либо строка из нулей	равен 0
умножаешь строку на число $α$	умножается на $α$
прибавляешь к строке другую строку, умноженную на число	не меняется

Всё, что верно для строк, верно и для столбцов. Если умножить на $α$ все элементы матрицы третьего порядка, $α$ выносится из каждой из трёх строк: $det (α A) = α^{3} det A$ . Определитель треугольной матрицы второго или третьего порядка равен произведению элементов главной диагонали, а $det (A B) = det A \cdot det B$ . Перед вычислением используй свойства, чтобы получить нули.

Обратимая матрица
Квадратная матрица $A$ обратима, если существует $A^{- 1}$ , для которой $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ . Критерий: $A$ обратима тогда и только тогда, когда , и тогда Обратную матрицу составляют из алгебраических дополнений: их записывают транспонированно и делят на Для второго порядка это даёт

то есть элементы главной диагонали меняются местами, у двух других меняется знак, и всё делится на определитель.

Матричные уравнения
Если $det A \neq = 0$ :

$A X = B$ : умножаешь обе части на $A^{- 1}$ слева и получаешь $X = A^{- 1} B$ ;
$Y A = B$ : умножаешь и получаешь

Порядок множителей важен, потому что умножение матриц не коммутативно.

Матрицы и определители: действия, свойства, обратная матрица

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу