Что требует программа
Раздел X.3 программы бакалавриата для реального профиля начинается с одночленов и многочленов. В него входят понятия, действия (сложение, вычитание, умножение, возведение в натуральную степень), канонический вид и степень многочлена, деление с остатком, деление на X−a и теорема Безу, разложение на неприводимые множители, корни и кратные корни. Алгебраические дроби с ОДЗ — вторая часть того же раздела. Среди примеров заданий в программе есть остаток от деления на X−2, когда известен остаток от деления на X+1, и коэффициенты многочлена с двойным корнем X=1.
Одночлены
Одночлен — произведение чисел и букв в натуральных степенях, например −5X2Y3. Числовой множитель — коэффициент, остальное — буквенная часть, а буквы называют переменными. Степень одночлена равна сумме показателей всех переменных: у 3X3Y степень 4, а относительно X — 3. Одночлены с одинаковой буквенной частью подобны; их приводят, складывая коэффициенты: 2X2Y+3X2Y=5X2Y.
Многочлен от одной переменной
Многочлен — сумма одночленов; один одночлен тоже считается многочленом. Из двух слагаемых получается двучлен (бином), из трёх — трёхчлен. От одной переменной многочлен записывают как P(X)=a0+a1X+a2X2+⋯+anXn, где — коэффициенты.
| Понятие | Что это |
|---|
| свободный член | a0, слагаемое без X; оно же P(0) |
| старший член | anXn, где an=0 |
В каноническом виде старший коэффициент не равен нулю. Два многочлена равны ровно тогда, когда у них один и тот же канонический вид, то есть одна степень и равные коэффициенты при каждой степени X. Так находят параметры из равенства многочленов. Степень нулевого многочлена не определяется, а ненулевое число — многочлен нулевой степени. Если коэффициенты содержат параметр, степень может от него зависеть: значения, при которых старший коэффициент обращается в нуль, разбирают отдельно.
Действия и степень
Произведение получают, умножая каждый член P на каждый член Q и приводя подобные. Для ненулевых многочленов grad(P⋅Q)=gradP+gradQ, а степень суммы не больше наибольшей из двух степеней (если сумма не нулевой многочлен).
Значение и корень
P(α) получают, подставив α вместо X. Если P(α)=0, число α — корень многочлена.
Деление с остатком
Для D и I=0 существуют единственные неполное частное C и остаток R, для которых D=I⋅C+R, причём или Делят столбиком: записывают оба многочлена по убыванию степеней, делят старший член делимого на старший член делителя и продолжают, пока степень остатка не станет меньше степени делителя. Если многочлен делится на Из той же теоремы остаток от деления на многочлен второй степени имеет степень не выше 1, то есть вид Когда у делителя два различных действительных корня, как у в по очереди подставляют каждый корень: там обращается в нуль, значит, равен остатку, а значение даёт теорема Безу. Получается система для и Если разделить равенство на получится рациональная функция, у которой степень числителя не меньше степени знаменателя, становится многочленом плюс дробь с числителем меньшей степени.
Теорема Безу. Схема Горнера
Остаток от деления P(X) на X−c равен P(c), поэтому его находят без деления. Следствие: c — корень P ровно тогда, когда P(X)=(X−c)⋅C(X). Частное даёт схема Горнера. В верхней строке пишут все коэффициенты, включая нули на месте пропущенных степеней. Первый коэффициент сносят вниз, каждое следующее число — коэффициент над ним плюс умноженное на предыдущее число; последнее число и есть остаток. Для и верхняя строка частное остаток
Кратные корни
α — корень кратности m, если (X−α)m делит P, а (X−α)m+1 уже не делит. Кратность 1 — простой корень, 2 — двойной, 3 — тройной. Кратность находят, деля по схеме Горнера на снова и снова, пока частное не перестанет делиться.
Разложение на множители
Методы: вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения, разложение трёхчлена aX2+bX+c=a(X−x1)(X−x2), где — корни соответствующего уравнения, и их сочетания. Многочлен степени не меньше 1 неприводим над множеством, если его нельзя записать произведением двух многочленов степени не меньше 1 с коэффициентами из этого множества. Над неприводимы множители первой степени и трёхчлены без действительных корней: не раскладывается, а раскладывается. У многочлена с целыми коэффициентами сначала пробуют делители свободного члена, со знаком плюс и минус, по теореме Безу или схеме Горнера. Так находятся не все корни: корень многочлена не делитель числа 1. Если степень нечётная, а коэффициенты действительные, хотя бы один корень окажется действительным.
