Ce cere programa
Tema este unitatea XI.7 a programei de BAC pentru profilul real, unde matematica este probă obligatorie. Programa cere: drepte perpendiculare, dreapta perpendiculară pe plan, proiecții ortogonale, distanțele de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și de la o dreaptă la un plan, unghiul dintre dreaptă și plan, teorema celor trei perpendiculare cu reciproca, unghiul diedru, plane perpendiculare și lungimea proiecției unui segment. În curriculum este tema VII a clasei a XI-a, imediat după paralelismul în spațiu; în manualul de clasa a XI-a este modulul 9.
Drepte perpendiculare
Două drepte necoplanare nu au punct comun, așa că unghiul lor se măsoară prin paralele: prin orice punct M duci paralele la cele două drepte și măsori unghiul dintre ele. Dreptele sunt perpendiculare când acest unghi are 90∘. Deci două drepte pot fi perpendiculare fără să se intersecteze: în cubul ABCDA1B1C1D1, AA1⊥BC.
Dreapta perpendiculară pe plan
- Definiția: o dreaptă este perpendiculară pe un plan când formează unghi drept cu fiecare dreaptă a planului.
- Criteriul, cel folosit în rezolvări: ajunge ca dreapta să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan.
- Printr-un punct dat trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat.
- Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. Invers, un plan perpendicular pe una dintre două drepte paralele este perpendicular și pe cealaltă.
- Oblică se numește dreapta care nu e paralelă cu planul și nici perpendiculară pe el.
Proiecții și distanțe
Ca să proiectezi punctul M pe planul α, cobori din M perpendiculara pe α: piciorul ei este proiecția ortogonală a lui M. Proiecția unei figuri se obține proiectând fiecare punct al ei. O dreaptă se proiectează pe un plan tot într-o dreaptă, cu o excepție: dreapta perpendiculară pe plan se proiectează într-un punct.
- Distanța de la punctul M la o dreaptă este lungimea segmentului MM1, unde M1 este proiecția lui M pe acea dreaptă.
- Distanța de la un punct la un plan se măsoară pe perpendiculară: este lungimea segmentului dintre punct și proiecția lui pe plan.
- Din același punct, perpendiculara pe plan nu este mai lungă decât nicio oblică: perpendiculara, oblica și segmentul dintre picioarele lor formează un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept la piciorul perpendicularei. Pe acest triunghi se sprijină aproape fiecare calcul cu teorema lui Pitagora din temă.
- Distanța de la o dreaptă la un plan are sens numai când dreapta este paralelă cu planul: atunci iei un punct oarecare al dreptei și măsori distanța de la el la plan. Manualul o folosește în probleme ca acestea: planul trece prin baza mică a unui trapez sau printr-o latură a unui paralelogram, iar distanța de la baza mare, respectiv de la latura opusă, până la plan este o distanță de la o dreaptă la un plan.
Unghiul dintre dreaptă și plan
Pentru o dreaptă oblică se construiește proiecția ei pe plan; unghiul ascuțit dintre dreaptă și această proiecție este unghiul cu planul. Pentru un segment se ia dreapta lui suport. Dacă segmentul are lungimea l și formează cu planul unghiul φ, proiecția lui are lungimea lcosφ.
Teorema celor trei perpendiculare
Fie MA⊥α, cu A în plan, și b o dreaptă din α (figura). Dacă proiecția AD a oblicei MD este perpendiculară pe b, atunci și oblica MD este perpendiculară pe b. Reciproca: dacă o oblică este perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci și proiecția ei pe plan este perpendiculară pe acea dreaptă. Așa se află distanța de la un punct din afara planului la o dreaptă din plan: construiești perpendiculara din proiecția punctului pe dreaptă și unești piciorul ei cu punctul.
Unghiul diedru și plane perpendiculare
Două semiplane închise cu aceeași dreaptă de margine formează un unghi diedru: dreapta comună este muchia, semiplanele sunt fețele. Ca să îl măsori, iei un punct pe muchie și duci din el, în fiecare față, câte o perpendiculară pe muchie; unghiul dintre ele este unghiul liniar. Unghiurile liniare ale aceluiași diedru sunt toate congruente, de aceea măsura diedrului este măsura oricăruia dintre ele.
- Două plane sunt perpendiculare când diedrul lor are 90∘.
- Criteriul: planele sunt perpendiculare exact atunci când în unul dintre ele există o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.
- Proprietatea folosită în problemele cu piramide: dacă două plane sunt perpendiculare, o dreaptă dintr-unul dintre ele, dusă perpendicular pe dreapta lor comună, este perpendiculară pe celălalt plan (ea este latura unui unghi liniar al diedrului drept).
- Aria proiecției unui triunghi pe un plan este Apr=Acosφ, unde φ este diedrul dintre planul triunghiului și acel plan. Cu ea afli măsura unui diedru fără să construiești unghiul liniar. Programa de BAC numește doar lungimea proiecției unui segment; aria proiecției unei figuri este în curriculum, iar manualul o demonstrează pentru triunghi.
| Ce se cere | Ce construiești |
|---|
| distanța de la un punct la un plan | perpendiculara din punct pe plan |
| distanța de la M la dreapta b din plan, când MA⊥α | AD⊥b în plan, apoi segmentul MD |
| unghiul dintre o dreaptă și un plan | proiecția dreptei pe plan |
| unghiul diedru | din același punct al muchiei, câte o perpendiculară pe muchie în fiecare față |
Trei proprietăți pentru problemele cu piramide
- Dacă un punct din afara planului unui poligon este egal depărtat de vârfurile lui, proiecția punctului pe plan este centrul cercului circumscris poligonului.
- Dacă planele care trec printr-un punct și prin laturile unui patrulater convex formează cu planul patrulaterului diedre congruente, patrulaterul este circumscriptibil, iar proiecția punctului este egal depărtată de laturile lui.
- Dacă un punct din afara planului unui romb este egal depărtat de laturile rombului, proiecția lui pe planul rombului este punctul de intersecție a diagonalelor.
