Что требует программа
Страница — для реального профиля. Раздел XII.5 «Многогранники» программы BAC требует по этой теме понятие многогранника, его элементы и классификацию, правильные многогранники, прямую призму и её элементы, диагональные сечения и сечения, содержащие высоту, площади поверхностей призмы и её объём.
Многогранник
Многогранник — это ограниченное тело, у которого вся поверхность складывается из конечного набора плоских многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, концы рёбер — вершинами. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не лежат в одной грани, — диагональ многогранника. Многогранник выпуклый, если относительно плоскости каждой своей грани он целиком лежит по одну сторону.
Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называют правильным, если его грани — правильные многоугольники, конгруэнтные друг другу, а число рёбер, выходящих из вершины, одинаково для всех вершин. Таких многогранников всего пять типов:
| Правильный многогранник | Грани |
|---|
| тетраэдр | конгруэнтные равносторонние треугольники |
| куб | конгруэнтные квадраты |
| октаэдр | конгруэнтные правильные треугольники |
| додекаэдр | конгруэнтные правильные пятиугольники |
| икосаэдр | конгруэнтные правильные треугольники |
Понятийная карта учебника указывает и число рёбер в каждой вершине для трёх из них: 4 у октаэдра, 3 у додекаэдра и 5 у икосаэдра.
Призма и её элементы
У призмы два основания — конгруэнтные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Остальные грани боковые. Боковые рёбра параллельны и конгруэнтны, поэтому любая боковая грань — параллелограмм. Высота призмы — отрезок с концами в плоскостях оснований, перпендикулярный им; высотой называют и расстояние между этими плоскостями. По многоугольнику в основании призма бывает треугольной, четырёхугольной, в общем случае n-угольной; её поверхность состоит из 2 оснований и n боковых граней.
Прямая призма и частные случаи
- Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям; если не перпендикулярны, призма наклонная. Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник, а длина бокового ребра равна высоте призмы.
- Правильная призма — прямая призма, в основании которой правильный многоугольник.
- Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании; все его грани — параллелограммы.
- Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед с прямоугольником в основании. Квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх рёбер, выходящих из одной вершины: d2=a2+b2+c2.
Сечения
Сечение — непустое пересечение многогранника с плоскостью. Оно может оказаться точкой, отрезком или многоугольником; учебник рассматривает только сечения-многоугольники.
- Плоскость, параллельная основаниям, рассекает призму по многоугольнику, конгруэнтному основаниям.
- Плоскость двух боковых рёбер, не лежащих в одной грани, даёт диагональное сечение — параллелограмм.
- В прямой призме боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой диагонали основания. Тогда у диагонального сечения, которое является параллелограммом, есть прямой угол, то есть это прямоугольник: его стороны — d (диагональ основания) и l (боковое ребро), а его плоскость содержит высоту и диагональ основания. Это следствие определений, а не фраза учебника.
Угол диагонали с основанием
Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её проекцией на эту плоскость; проекция точки — основание перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость. В прямой призме боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому проекция диагонали призмы на плоскость основания — диагональ основания. Диагональ призмы, диагональ основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, и угол диагонали призмы с основанием — это её угол с диагональю основания.
Площади
Площадь боковой поверхности Aбок — сумма площадей боковых граней, площадь полной поверхности Aполн — сумма площадей всех граней.
- Для любой призмы: Aполн=Aбок+2Aосн, где Aосн — площадь одного основания.
Объём
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V=Aосн⋅H. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c, выходящими из одной вершины, V=abc, у куба с ребром —
