Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма, уравнения
Комплексные числа — тема XI.4 программы бакалавриата по математике для реального профиля. Здесь алгебраическая форма, модуль, тригонометрическая форма с формулой Муавра, квадратные и биквадратные уравнения на ℂ.
XI.4. Комплексные числа
- Понятие комплексное число. Множество ℂ. Алгебраическая форма комплексного числа.
- Арифметические операции с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
- Модуль комплексного числа.
- Тригонометрическая форма комплексного числа.
- Операции с комлексными числами, записанными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем).
- Уравнения II степени, биквадратные уравнения на множестве ℂ.
Что требует программа Тема XI.4 входит в программу реального профиля. В ней алгебраическая форма и действия в ней, модуль, тригонометрическая форма, умножение, деление и возведение в натуральную степень в тригонометрической форме, уравнения второй степени и биквадратные уравнения на множестве C. В программе гуманитарного профиля своя, более короткая тема XI.2: алгебраическая форма, модуль и уравнения второй степени с действительными коэффициентами, без тригонометрической формы и биквадратных уравнений.
Алгебраическая форма Комплексное число записывают как z=a+bi, где a,b∈R и i2=−1; множество таких чисел — C, и N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
a=Rez — действительная часть, b=Imz — мнимая часть. Мнимая часть — это действительное число b, а не bi.
a+0i — это действительное число a;0+bi при — чисто мнимое число.
Действия в алгебраической форме Складываешь и вычитаешь отдельно действительные и мнимые части. Умножаешь как многочлены от i и заменяешь i2 на −1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.Формулы сокращённого умножения тоже работают. Степени повторяются через четыре: При большом показателе выделяешь кратное четырём:
Сопряжённое число и деление Сопряжённое к z=a+bi — это zˉ=a−bi, а z⋅zˉ=a2+b2 — неотрицательное действительное число. На этом держится деление: числитель и знаменатель умножаешь на число, сопряжённое знаменателю.Сопряжённое к сумме равно сумме сопряжённых, к произведению — произведению сопряжённых, а ровно тогда, когда действительное.
Модуль ∣a+bi∣=a2+b2. Числу z=x+iy соответствует точка комплексной плоскости, и — длина отрезка Часто нужны свойства: Модуль разности — это расстояние между точками, которые изображают эти числа.
Тригонометрическая форма Для z=a+bi=0 с модулем r=∣z∣ и аргументом φ (углом между положительной полуосью Ox и вектором OM) выполняется и
Аргументы одного числа отличаются на 2kπ; аргумент из промежутка (−π;π] называется главным, argz. У числа 0 аргумент не определён.
argz=arccosra при и при
Действия в тригонометрической форме Тригонометрическая форма упрощает умножение, деление и возведение в степень:
Действие
Модуль
Аргумент
z1z2
r1r2
φ1+φ2
Аргумент, найденный так, может выйти за промежуток (−π;π], поэтому при большой степени ты возвращаешь его туда, прибавляя или вычитая кратные 2π. Сложение и вычитание удобнее делать в алгебраической форме.
Уравнения второй степени на ℂ Формула z1,2=2a−b±b2−4ac остаётся верной на в том числе при комплексных коэффициентах: здесь у уравнения второй степени корни есть всегда.
Коэффициенты действительные и Δ<0: записываешь Δ как квадрат чисто мнимого числа. Для z2−2z+3=0 получаем Δ=−8=(22i)2 и решения различаются только знаком мнимой части.
Биквадратные уравнения Уравнение mz4+pz2+q=0,m=0, решается подстановкой z2=u: решаешь затем для каждого найденного значения. Каждое даёт два противоположных значения Для получаем и значит
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Алгебраическая форма: равенство комплексных чисел, противоположное и сопряжённое число, сложение, вычитание, умножение и деление через сопряжённое знаменателю. Урок казахстанской онлайн-школы для 11 класса.
О чём: Тригонометрическая форма: комплексная плоскость, модуль и аргумент, формулы x=rcosφ,y=rsinφ и примеры перевода из алгебраической формы. Главное значение аргумента берут от −π до π, как в учебнике, но находят его через арктангенс, с учётом четверти.
О чём: Уравнения второй степени с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом: корень из отрицательного числа через i и запись комплексных решений.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
b=0
Так определено равенство: a+bi=c+di тогда и только тогда, когда a=c и b=d. Поэтому равенство в C с действительными неизвестными распадается на два действительных уравнения: для действительных частей и для мнимых.
Две тригонометрические формы равны, когда равны модули, а аргументы отличаются на 2kπ.
Примеры: 1+i=2(cos4π+isin4π) и −1=cosπ+isinπ.
z2z1
r2r1
φ1−φ2
zn, формула Муавра
rn
nφ
C,
z1,2=1±i2:
Δ комплексный: нужны его корни второй степени, это два противоположных числа. Для z2−3z+3−i=0 дискриминант равен −3+4i, его корни 1+2i и −1−2i, а S={2+i;1−i}. Корень находишь по формуле из учебника или из равенства (x+yi)2=Δ, приравнивая части.
