Что требует программа
Эта страница — для реального профиля, где математика на BAC обязательна. Раздел XI.6 программы начинается с аксиом планиметрии и стереометрии, затем идут взаимное расположение прямых, угол между двумя некомпланарными прямыми, параллельные прямые, расположение прямой и плоскости и двух плоскостей — со свойствами и признаками параллельности.
Аксиомы
Точка, прямая, плоскость, расстояние и величина угла — основные понятия: их не определяют, их свойства задают аксиомы. Из планиметрии здесь нужны две:
- через две различные точки проходит ровно одна прямая;
- через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной (аксиома параллельности).
В стереометрии появляется плоскость, и к аксиомам добавляются три:
- ПР1: у каждой плоскости есть точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат;
- ПР2: через три неколлинеарные точки проходит одна и только одна плоскость;
- ПР3: две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
Из них следует: если две точки прямой лежат в плоскости, то в ней лежит вся прямая; плоскость задаётся также прямой и точкой вне её и двумя пересекающимися прямыми. Точки одной плоскости называют компланарными.
Две прямые в пространстве
Прямые могут совпадать, пересекаться (одна общая точка), лежать в одной плоскости без общих точек или не иметь общей плоскости — тогда они скрещивающиеся, или некомпланарные. Параллельными называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, а также совпадающие прямые. Отсюда главная ловушка: две различные прямые без общих точек ещё не параллельны, нужно показать общую плоскость.
- Если плоскость пересекает одну из двух различных параллельных прямых, она пересекает и вторую.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Пример из учебника: для четырёх некомпланарных точек A, B, C, D середины отрезков AD, DC, CB, BA — вершины параллелограмма. Две его противолежащие стороны — средние линии треугольников ABD и BDC, поэтому обе параллельны BD. Напомним: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Угол между скрещивающимися прямыми
В основе лемма: если стороны двух углов попарно параллельны, углы либо конгруэнтны, либо в сумме дают 180∘. Угол между скрещивающимися прямыми a и b строят через произвольную точку M: проводят MA∥a, MB∥b и измеряют угол BMA. По лемме выбор точки меняет результат разве что на угол, дополняющий его до поэтому берут там, где удобно, обычно на одной из прямых. Учебник допускает для угла любую величину от до так что одни и те же прямые дают угол или угол, дополняющий его до если в задаче нужен острый угол, берут тот из двух, что не больше Прямые перпендикулярны, если угол равен в кубе прямые и перпендикулярны, хотя общих точек у них нет.
Прямая и плоскость
Прямая может иметь с плоскостью одну общую точку (пересекать её), не иметь общих точек или лежать в плоскости; в двух последних случаях она параллельна плоскости.
- Признак: прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, если в этой плоскости найдётся прямая, параллельная ей. В решении эту прямую нужно назвать.
- Если a∥α, то плоскость, проходящая через a и пересекающая α, пересекает её по прямой, параллельной a.
- Теорема «крыши»: если d1∥d2, а плоскость через и плоскость через пересекаются по прямой то параллельна обеим.
Две плоскости
Плоскости пересекаются по прямой, не имеют общих точек или совпадают; в двух последних случаях они параллельны.
- Признак: плоскости параллельны, если в одной из них есть две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости. Двух параллельных между собой прямых недостаточно.
- Третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.
- Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями конгруэнтны.
| Что сравниваем | Параллельны, если | Признак |
|---|
| две прямые | одна плоскость, нет общих точек (или совпадают) | обе параллельны третьей |
| прямая и плоскость | нет общих точек или прямая лежит в плоскости | параллельна прямой этой плоскости |
| две плоскости | нет общих точек или совпадают | две пересекающиеся прямые одной параллельны другой |
Сечения и параллельные прямые до плоскости
- В тетраэдре VABC плоскость, параллельная грани ABC, пересекает три другие грани по прямым, параллельным сторонам этой грани, и в сечении получается треугольник, подобный грани. Коэффициент читают на ребре от противолежащей вершины: если плоскость пересекает ребро VA в точке A1, каждая сторона сечения равна соответствующей стороне грани, умноженной на VAVA1.
